Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Alan deneyinde araştırmacı ne yapar?
- ABağımsız değişkeni laboratuvarda manipüle eder
- BBağımsız değişkeni gerçek yaşam ortamında manipüle eder
- CHiçbir şeyi manipüle etmeden yalnızca gözlemler
- DBaşkalarının topladığı verileri analiz eder
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Yorumlayıcı fenomenolojik analiz (IPA) esas olarak neyi amaçlar?
- AMetinlerdeki sözcüklerin sıklığını saymayı
- BBüyük örneklemlerle nedensel hipotezleri test etmeyi
- CBireylerin kendi yaşanmış deneyimlerini nasıl anlamlandırdığını keşfetmeyi
- DTepki sürelerini doğru biçimde ölçmeyi
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 54, 25, 19, 13, 30.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 52 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 60σ = 10x = 52
z =
5.OlasılıkOrta
Bir torbada 6 kırmızı ve 3 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?
6 / 3
P =
6.OlasılıkZor
10 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,7 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 10p = 0,7
P =
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0869 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,0869
z =
8.Normal dağılımZor
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).
μ = 65σ = 10P = 10%
x = puan
9.Güven aralıklarıOrta
7 birimlik bir örneklemin ortalaması 38,5 ve standart sapması s = 7,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 7x̄ = 38,5s = 7,590%t(6) = 1,943
üst sınır =
10.Güven aralıklarıZor
Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,01 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p = 0,5E = 0,0199%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 30 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 65 mm ve hattın bilinen standart sapması 8 mm. Hat 2: 60 parçalık bir örneklemin ortalaması 67,8 mm, bilinen standart sapması 14 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 30x̄₁ = 65 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 60x̄₂ = 67,8 mmσ₂ = 14 mm
z =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 250 hastadan 38’i, B tedavisi alan 100 hastadan 3’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 38n₁ = 250x₂ = 3n₂ = 100
z =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3, 6) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(3, 6)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1202 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 11 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Tabloyu kullanarak α = 0,05 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,05
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Bağımsız değişkeni gerçek yaşam ortamında manipüle eder
Cevap neden bu
Sokakta sahnelenen yardım durumları gibi alan deneyleri ekolojik geçerliği artırır, ancak dışsal değişkenler üzerinde daha az kontrol sağlar ve onam sorunları doğurur.
Cevap
B · Bağımsız değişkeni gerçek yaşam ortamında manipüle eder
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Bireylerin kendi yaşanmış deneyimlerini nasıl anlamlandırdığını keşfetmeyi
Cevap neden bu
IPA küçük, homojen örneklemleri derinlemesine inceler; katılımcıların önemli deneyimleri nasıl yorumladığını araştırır ve araştırmacı da onların anlamlandırmasını yorumlar.
Cevap
C · Bireylerin kendi yaşanmış deneyimlerini nasıl anlamlandırdığını keşfetmeyi
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 15,77
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 141/5 = 28,2
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 25,8² + (−3,2)² + (−9,2)² + (−15,2)² + 1,8² = 994,8
Standart sapma
s = √(994,8/4) = 15,77
Cevap
s = 15,77
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = −0,8
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (52 − 60)/10 = −0,8
Cevap
z = −0,8
5.Olasılık
Cevap: P = 0,4167
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Birinci ve ikinci çekiş
P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167
Cevap
P = 0,4167
6.Olasılık
Cevap: P = 0,0001437
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,310 = 5,905 × 10⁻⁶
P(X = 1) = 10·0,7·0,39 = 0,0001378
Toplayın
P = 5,905 × 10⁻⁶ + 0,0001378 = 0,0001437
Cevap
P = 0,0001437
7.Normal dağılım
Cevap: z = 1,36
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,0869 = 0,9131
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,9131 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 1,36
Cevap
z = 1,36
8.Normal dağılım
Cevap: x = 52,18 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
x’e geri dönüş
x = 65 + −1,282·10 = 52,18 puan
Cevap
x = 52,18 puan
9.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 44,01
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Hata payı
E = 1,943·7,5/√7 = 5,508
Aralık
38,5 ± 5,508 → [32,99, 44,01]
Cevap
üst sınır = 44,01
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 16590
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589
Yukarı yuvarlayın
n = 16590
Cevap
n = 16590
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −1,205
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(8²/30 + 14²/60) = √5,4 = 2,324
Test istatistiği
z = (65 − 67,8)/2,324 = −1,205
Cevap
z = −1,205
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 3,206
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 38/250 = 0,152
p̂₂ = 3/100 = 0,03
p̂ = 41/350 = 0,1171
H₀ altında standart hata
SE = √(0,1171·0,8829·(1/250 + 1/100)) = 0,03805
Test istatistiği
z = (0,152 − 0,03)/0,03805 = 3,206
Cevap
z = 3,206
|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9505
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 107/6 = 17,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 58,83
Korelasyon katsayısı
r = −30,5/√(17,5·58,83) = −0,9505
Cevap
r = −0,9505
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −2,481
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 115/6 = 19,17
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 187
Regresyon doğrusu
b = 187/70 = 2,671
a = 19,17 − 2,671·7 = 0,4667
ŷ = 0,4667 + 2,671·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 0,4667 + 2,671·3 = 8,481
Artık
e = 6 − 8,481 = −2,481
Cevap
e = −2,481
Nokta doğrunun altındadır.
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 2,556
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
gündüz vardiyası: 60·36/120 = 18, 60·36/120 = 18, 60·48/120 = 24
gece vardiyası: 60·36/120 = 18, 60·36/120 = 18, 60·48/120 = 24
Ki-kare istatistiği
χ² = (20 − 18)²/18 + (14 − 18)²/18 + (26 − 24)²/24 + (16 − 18)²/18 + (22 − 18)²/18 + (22 − 24)²/24
χ² = 2,556
Cevap
χ² = 2,556
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 18,31
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 11 − 1 = 10
Tablo
χ²crit(df = 10, α = 0,05) = 18,307
Cevap
χ²crit = 18,307
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology