Тренувальні задачі AP Calculus: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(x² − 5x) − x).

f(x) = √(x² − 5x) − xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(4x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(3x² + 2). Знайдіть f′(−2).

f(x) = ln(3x² + 2)x = −2

f′(−2) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 3x² − 3x у точці x = 2 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 3x² − 3xx = 2

b =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 600 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €30 за метр; інші три сторони — €10 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 600 m²€30/m€10/m

C = €

6.ОптимізаціяСкладна

Театр продає 340 квитків на виставу по €15. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 10 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 10 більше). Знайдіть максимальну виручку R за виставу.

340 × €1510 / €1

R = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀³ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = x.

y = 2x²y = x

A =

9.Диференціальні рівнянняСередня

Банку газованого напою температурою 5 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 22 °C. Через 23 min її температура становить 19 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 15 °C?

T₀ = 5 °CT_a = 22 °CT(23) = 19 °CT = 15 °C

t = min

10.Диференціальні рівнянняСкладна

Система підпорядковується y″ + y′ + 16,25y = 16,25 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,25); кути в радіанах.

y″ + y′ + 16,25y = 16,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

11.Послідовності та рядиСередня

Знайдіть суму S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)).

a_k = 12/(k(k + 3))

S =

12.Послідовності та рядиСкладна

Функцію f(x) = ln(1 + x) наближено многочленом Маклорена степеня 4 у точці x = 0,5. Скористайтеся оцінкою похибки Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 4! = 24, щоб знайти найбільшу можливу похибку |R₄|.

f(x) = ln(1 + x)n = 4x = 0,5M = 24

|R₄| =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −2,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = −5x/(√(x² − 5x) + x)

Поділіть на x

f(x) = −5/(√(1 + (−5)/x) + 1)

Нехай x → ∞

L = −5/(1 + 1) = −2,5

Відповідь

L = −2,5

2.Границі

Відповідь: L = 0,5

Перше застосування

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Друге застосування

4·cos 2x/8

Підставте x = 0

L = 4/8 = 0,5

Відповідь

L = 0,5

3.Похідні

Відповідь: f′(−2) = −0,8571

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x² + 2)

Підставте

f′(−2) = −12/14 = −0,8571

Відповідь

f′(−2) = −0,8571

4.Похідні

Відповідь: b = −12

Точка і нахил

f(2) = 6

f′(x) = 6x − 3 → f′(2) = 9

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 9·2 = −12

Відповідь

b = −12

5.Оптимізація

Відповідь: C = 1386 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 40x + 12000/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 24000/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(12000/40) = 17,32 m

y = 600/17,32 = 34,64 m

Мінімальна вартість

C = 40·17,32 + 12000/17,32 = €1386

Відповідь

C = €1386

6.Оптимізація

Відповідь: R = 6003 €

Виручка як функція ціни

n(p) = 490 − 10p

R(p) = 490p − 10p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −20 < 0, тож це максимум.

p = 490/20 = €24,5

Максимальна виручка

n = 490 − 10·24,5 = 245

R = 24,5·245 = €6003

Відповідь

R = €6003

7.Інтеграли

Відповідь: I = 0,9502

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^−x/(−1)

Підставте межі

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Відповідь

I = 0,9502

8.Інтеграли

Відповідь: A = 0,04167

Точки перетину

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Відповідь

A = 0,04167

9.Диференціальні рівняння

Відповідь: t = 11,77 min

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Стала охолодження

k = ln(-17/-3)/23 = 0,07542 min⁻¹

Час до досягнення цільової температури

t = ln(-17/(−7))/0,07542 = 11,77 min

Відповідь

t = 11,77 min

10.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(0.25) = 0,4304

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Усталене значення та корені

y_ss = 1, r = −0,5 ± 4j

Сталі за початковими значеннями

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −0,5A + 4B = 0 → B = −0,125

Обчисліть

y(0,25) = 1·(1 − e^−0,125(cos 1 + 0,125·sin 1)) = 0,4304

Відповідь

y(0,25) = 0,4304

11.Послідовності та ряди

Відповідь: S = 7,333

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; ознака Коші: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |c_k/c_k+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Простіші дроби

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Скасувати

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Відповідь

S = 7,333

12.Послідовності та ряди

Відповідь: |R₄| = 0,00625

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

Оцінка похідної

M = 4! = 24

Оцінка Лагранжа

|R₄| ≤ 24·0,5⁵/5! = 0,00625

Відповідь

|R₄| = 0,00625

Справжня похибка менша: |f(0,5) − P₄(0,5)| = 0,004423.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice