Тренувальні задачі AP Calculus: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^x. Дайте десяткове значення.

f(x) = (1 − 1/x)^xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(4x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(4x)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x³·e^x. Знайдіть f′(1).

f(x) = x³·e^xx = 1

f′(1) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 3x² + 3x + 3 у точці x = 3 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 3x² + 3x + 3x = 3

b =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 400 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €25 за метр; інші три сторони — €5 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 400 m²€25/m€5/m

C = €

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 80 − 0,1q євро за одиницю, а витрати C(q) = 1900 + 30q євро. Знайдіть тижневий обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

p = 80 − 0,1qC = 1900 + 30q

q = од.

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₁³ 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 3]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = x.

y = 2x²y = x

A =

9.Диференціальні рівнянняСередня

Чашку кави температурою 81 °C залишили в кімнаті з температурою 24 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,1 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 22 min.

T₀ = 81 °CT_a = 24 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 22 min

T = °C

10.Диференціальні рівнянняСкладна

Бак містить 1000 L води, у якій розчинено 10 kg солі. Розсіл із 0,25 kg солі на літр надходить зі швидкістю 5 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 45 min?

V = 1000 Lm₀ = 10 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

11.Послідовності та рядиСередня

Застосуйте ознаку Даламбера до Σ_k=1^∞ kᵏ/(5ᵏ·k!). Знайдіть L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = kᵏ/(5ᵏ·k!)

L =

12.Послідовності та рядиСкладна

Функцію f(x) = sin x наближено в точці x = 1 многочленом Маклорена степеня n. За оцінкою Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 1 знайдіть найменший степінь n, що гарантує похибку нижче за 0,001.

f(x) = sin xx = 1M = 1ε = 0,001

n =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 0,3679

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Візьміть логарифм

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 1/x)

Обчисліть

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, тож x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−1) = −1

Позбудьтеся логарифма

L = e⁻¹ = 0,3679

Відповідь

L = 0,3679

2.Границі

Відповідь: L = 1,25

Правило Лопіталя

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[4·cos 4x]

Підставте x = 0

L = 5/4 = 1,25

Відповідь

L = 1,25

3.Похідні

Відповідь: f′(1) = 10,87

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

Підставте

f′(1) = 2,718·(3 + 1) = 10,87

Відповідь

f′(1) = 10,87

4.Похідні

Відповідь: b = −24

Точка і нахил

f(3) = 39

f′(x) = 6x + 3 → f′(3) = 21

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 39 − 21·3 = −24

Відповідь

b = −24

5.Оптимізація

Відповідь: C = 692,8 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 30x + 4000/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 8000/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(4000/30) = 11,55 m

y = 400/11,55 = 34,64 m

Мінімальна вартість

C = 30·11,55 + 4000/11,55 = €692,8

Відповідь

C = €692,8

6.Оптимізація

Відповідь: q = 250 од.

Функція прибутку

P(q) = (80 − 0,1q)·q − (1900 + 30q) = −0,1q² + 50q − 1900

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,2 < 0, тож це максимум.

q = 50/0,2 = 250

Ціна й прибуток

p = 80 − 0,1·250 = €55

P = 50·250 − 0,1·250² − 1900 = €4350

Відповідь

q = 250

7.Інтеграли

Відповідь: I = 5,493

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 5·ln x

Підставте межі

I = 5·(ln 3 − ln 1) = 5·ln 3 = 5,493

Відповідь

I = 5,493

8.Інтеграли

Відповідь: A = 0,04167

Точки перетину

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Відповідь

A = 0,04167

9.Диференціальні рівняння

Відповідь: T = 30,32 °C

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Розв’язок закону охолодження

T(t) = 24 + 57·e^−0,1t

Підставте t

T(22) = 24 + 57·0,1108 = 30,32 °C

Відповідь

T = 30,32 °C

10.Диференціальні рівняння

Відповідь: m = 58,36 kg

Складіть рівняння

dm/dt = 5·0,25 − (5/1000)·m = 1,25 − 0,005·m

Розв’яжіть

Інтегрувальний множник e^rt/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.

m(t) = 250 + (−240)·e^−t/200

Підставте t

m(45) = 250 + (−240)·0,7985 = 58,36 kg

Відповідь

m = 58,36 kg

11.Послідовності та ряди

Відповідь: L = 0,5437

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; ознака Коші: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |c_k/c_k+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Відношення сусідніх членів

|a_k+1/a_k| = (1 + 1/k)ᵏ/5 → e/5

Висновок

L = 0,5437 < 1

Відповідь

L = 0,5437

L < 1, тож ряд збігається.

12.Послідовності та ряди

Відповідь: n = 6

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

Оцінки для зростаючого n

n = 5: 0,001389 ≥ 0,001

n = 6: 0,0001984 < 0,001

Найменший степінь

n = 6

Відповідь

n = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice