Тренувальні задачі AP Calculus: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (−2x² + 3x − 5)/(5x² + x + 2).

f(x) = (−2x² + 3x − 5)/(5x² + x + 2)x → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(2x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(2x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(3x), x у радіанах. Знайдіть f′(1).

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 3x² − x − 2 у точці x = 1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 3x² − x − 2x = 1

b =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 800 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €15 за метр; інші три сторони — €12 за метр. Знайдіть довжину x сторони вздовж вулиці, за якої вартість мінімальна.

A = 800 m²€15/m€12/m

x = m

6.ОптимізаціяСкладна

Театр продає 1500 квитків на виставу по €15. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 50 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 50 більше). Знайдіть максимальну виручку R за виставу.

1500 × €1550 / €1

R = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 1]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 9 − x² і віссю x.

y = 9 − x²

A =

9.Диференціальні рівнянняСередня

Кувану сталеву деталь температурою 320 °C залишили остигати в цеху з температурою 24 °C. Через 24 min її температура становить 207 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T₀ = 320 °CT_a = 24 °CT(24) = 207 °C

k = min⁻¹

10.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть y′ + 3y = 8e^−0,5t при y(0) = 4. Знайдіть y(1).

y′ + 3y = 8e^−0,5ty(0) = 4

y(1) =

11.Послідовності та рядиСередня

Застосуйте ознаку Даламбера до Σ_k=1^∞ kᵏ/(3ᵏ·k!). Знайдіть L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = kᵏ/(3ᵏ·k!)

L =

12.Послідовності та рядиСкладна

Скористайтеся многочленом Маклорена степеня 3 для f(x) = sin(−x), щоб наблизити f(1,5). Дайте P₃(1,5).

f(x) = sin(−x)n = 3x = 1,5

P₃(1.5) =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −0,4

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(−2 + 3/x + (−5)/x²)/(5 + 1/x + 2/x²)

Нехай x → ∞

L = −2/5 = −0,4

Відповідь

L = −0,4

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 1

Перше застосування

2·sin 2x/(4x) → 0/0

Друге застосування

4·cos 2x/4

Підставте x = 0

L = 4/4 = 1

Відповідь

L = 1

3.Похідні

Відповідь: f′(1) = −2,829

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Підставте

f′(1) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Відповідь

f′(1) = −2,829

4.Похідні

Відповідь: b = −5

Точка і нахил

f(1) = 0

f′(x) = 6x − 1 → f′(1) = 5

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − 5·1 = −5

Відповідь

b = −5

5.Оптимізація

Відповідь: x = 26,67 m

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 27x + 19200/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 38400/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(19200/27) = 26,67 m

y = 800/26,67 = 30 m

Мінімальна вартість

C = 27·26,67 + 19200/26,67 = €1440

Відповідь

x = 26,67 m

6.Оптимізація

Відповідь: R = 25313 €

Виручка як функція ціни

n(p) = 2250 − 50p

R(p) = 2250p − 50p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −100 < 0, тож це максимум.

p = 2250/100 = €22,5

Максимальна виручка

n = 2250 − 50·22,5 = 1125

R = 22,5·1125 = €25313

Відповідь

R = €25313

7.Інтеграли

Відповідь: I = 1,297

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^0,5x/0,5

Підставте межі

I = (e^0,5 − 1)/0,5 = (1,649 − 1)/0,5 = 1,297

Відповідь

I = 1,297

8.Інтеграли

Відповідь: A = 36

Нулі

9 − x² = 0 → x = ±3

Інтегруйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Відповідь

A = 36

9.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,02004 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e^−24k = 183/296

Розв’яжіть щодо k

k = ln(296/183)/24 = 0,02004 min⁻¹

Відповідь

k = 0,02004 min⁻¹

10.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1) = 1,981

Інтегрувальний множник

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 8e^2,5t

Загальний розв’язок

y = 8/2,5·e^−0,5t + C·e^−3t = 3,2·e^−0,5t + C·e^−3t

Початкова умова

4 = 3,2 + C → C = 0,8

Обчисліть

y(1) = 3,2·0,6065 + 0,8·0,04979 = 1,981

Відповідь

y(1) = 1,981

11.Послідовності та ряди

Відповідь: L = 0,9061

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; ознака Коші: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |c_k/c_k+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Відношення сусідніх членів

|a_k+1/a_k| = (1 + 1/k)ᵏ/3 → e/3

Висновок

L = 0,9061 < 1

Відповідь

L = 0,9061

L < 1, тож ряд збігається.

12.Послідовності та ряди

Відповідь: P₃(1.5) = −0,9375

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

Многочлен Маклорена

P₃(x) = −x + 0,1667x³

Підставте

P₃(1,5) = −1,5 + 0,5625 = −0,9375

Відповідь

P₃(1,5) = −0,9375

Точне значення дорівнює f(1,5) = −0,997495; похибка −0,059995 зменшується, якщо взяти більше членів або точку ближче до 0.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice