Тренувальні задачі AP Physics 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 60 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4,5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 60 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 45 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 21 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Коли кульки зустрінуться? Знайдіть t.

H = 45 mv_0B = 21 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 2 m/s і зупиняється, пройшовши 1 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 2 m/sd = 1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 30° зі швидкістю 12 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 12 m/sθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 65° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 32 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 29 m/s під кутом 60° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 10 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 29 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 3,2 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,5. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 3,2 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,2 kg на нитці завдовжки 0,9 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 8,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,2 kgr = 0,9 mv = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1500 kg піднімається схилом 4° зі сталою швидкістю 72 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 350 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1500 kgθ = 4°F_r = 350 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 15° і його тягнуть угору сталою силою 65 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 5 m угору схилом.

m = 10 kgF = 65 Nθ = 15°μ = 0,2d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 40° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 3,5 kgL = 1 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,7 kg на пружині з k = 150 N/m відтягують на 9 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1,15 s (зі знаком).

m = 1,7 kgk = 150 N/mA = 9 cmt = 1,15 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,7 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 440 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max вантажу.

m = 0,7 kgk = 440 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 3,704 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16,67/4,5 = 3,704 s

Відповідь

t = 3,704 s

2.Кінематика

Відповідь: t = 2,143 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

45 − ½g·t² = 21·t − ½g·t² → t = 45/21 = 2,143 s

Відповідь

t = 2,143 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,2039

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 2²/(2·1) = 2 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2/9,81 = 0,2039

Відповідь

μ = 0,2039

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 10,24 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 30° + 0,25·cos 30°) = 7,029 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·7,029) = 10,24 m

Відповідь

d = 10,24 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 42,87 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 65° = 13,52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 65° = 29 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 29²/(2·9,81) = 42,87 m

Відповідь

H = 42,87 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 63,24 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 29·cos 60° = 14,5 m/s

v_y0 = 29·sin 60° = 25,11 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(25,11² + 2·9,81·10) = 28,76 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 28,76/14,5 → α = 63,24°

Відповідь

α = 63,24°

7.Рух по колу

Відповідь: n = 23,65 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·3,2)) = 2,476 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 23,65 rpm

Відповідь

n = 23,65 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: T = 108,1 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,2·9,81 + 1,2·8,5²/0,9 = 11,77 + 96,33 = 108,1 N

Відповідь

T = 108,1 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 27,53 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 4° = 1026 N

F = 1026 + 350 = 1376 N

Потужність

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 1376·20 = 27529 W = 27,53 kW

Відповідь

P = 27,53 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,545 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 25,39 N

μ·mg·cos θ = 18,95 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (65 − 44,34)·5 = 103,3 J

v = √(2·103,3/10) = 4,545 m/s

Відповідь

v = 4,545 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 4 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4 − 2)/(4 + 2)·3 = 1 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 2)·3 = 4 m/s

Відповідь

v′₂ = 4 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 377,1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 40°) = 0,234 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,234) = 2,142 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 3,52·2,142/0,02 = 377,1 m/s

Відповідь

v = 377,1 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = −1,728 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(150/1,7) = 9,393 rad/s

ω·t = 9,393·1,15 = 10,8 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(10,8) = −1,728 cm

Відповідь

x = −1,728 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,3913 m/s

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 0,7·9,81/440 = 0,01561 m = A

Найбільша швидкість

Швидкість найбільша в положенні рівноваги.

ω = √(440/0,7) = 25,07 rad/s

v_max = A·ω = 0,01561·25,07 = 0,3913 m/s

Відповідь

v_max = 0,3913 m/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice