Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 72 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1 m/s² протягом 7 s, потім їде зі сталою швидкістю 7 s і нарешті гальмує з прискоренням 4 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 7 st₂ = 7 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 3 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 3 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 8,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 36 m/s під кутом 40° над горизонталлю в бік стіни на відстані 39 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 36 m/sθ = 40°x = 39 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 40 m/s під кутом 35° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 14 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 40 m/sθ = 35°h_roof = 14 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 35 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 35 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,5 kg на нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 3,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,5 kgr = 1,3 mv = 3,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2,5 kg ковзає 14 m похилою площиною під кутом 40° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2,5 kgθ = 40°μ = 0,1d = 14 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 6 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 2 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.

m = 10 kgh = 6 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 500 kg, що рухається зі швидкістю 19 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1300 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 500 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,2 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 20° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 1 kgL = 1,2 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2,2 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 1,6 s і амплітудою 7 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 7 cm до зміщення 4,9 cm?

T = 1,6 sA = 7 cmx = 4,9 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет заввишки 1 см стоїть на відстані 25 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 20 см. Знайдіть висоту зображення h_i (від’ємну для перевернутого зображення).

h_o = 1 cmd_o = 25 cmf = 20 cm

h_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,46 і оболонку з n₂ = 1,43. Знайдіть найбільший кут θ_a до осі волокна, під яким світло з повітря може увійти в торець волокна й усе одно направлятися повним внутрішнім відбиттям.

n₁ = 1,46n₂ = 1,43n₀ = 1,00

θ_a = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 66,67 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3) = 66,67 m

Відповідь

s = 66,67 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 79,63 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1·7 = 7 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·1·7² = 24,5 m

s₂ = 7·7 = 49 m

s₃ = 7²/(2·4) = 6,125 m

Повна відстань

s = 24,5 + 49 + 6,125 = 79,63 m

Відповідь

s = 79,63 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,905 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0) = 4,905 m/s²

Відповідь

a = 4,905 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 37,52 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 25,02)/13 = 1,472 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8,5·1,472 + 25,02 = 37,52 N

Відповідь

T = 37,52 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 22,92 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 36·cos 40° = 27,58 m/s

t = x/v_x = 39/27,58 = 1,414 s

Висота в цей момент

y = 23,14·1,414 − ½·9,81·1,414² = 22,92 m

Відповідь

y = 22,92 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 129,6 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 32,77 m/s, v_y = 22,94 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

14 = 22,94·t − 4,905·t²

t = (22,94 + √(22,94² − 2·9,81·14))/9,81 = 3,956 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 32,77·3,956 = 129,6 m

Відповідь

x = 129,6 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 10,15 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·35) = 10,15 m/s

Відповідь

v_max = 10,15 m/s (36,54 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 28,85 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,5·9,81 + 1,5·3,5²/1,3 = 14,71 + 14,13 = 28,85 N

Відповідь

T = 28,85 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 26,3 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 24,53·0,766 = 18,79 N

F = μN = 0,1·18,79 = 1,879 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 1,879·14 = 26,3 J

Відповідь

W_f = 26,3 J

10.Робота й енергія

Відповідь: N = 98,1 N

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(6 − 4) = 39,24 m²/s²

Сили у верхній точці

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

N = mv²/R − mg = 10·39,24/2 − 98,1 = 98,1 N

Відповідь

N = 98,1 N

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 72,22 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·19/1800 = 5,278 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·500·19² = 90250 J

K_after = ½·1800·5,278² = 25069 J

Втрачена частка

ΔK/K = 65181/90250 = 72,22 %

Відповідь

ΔK/K = 72,22 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 100,5 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,2·(1 − cos 20°) = 0,07237 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,07237) = 1,192 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,012·1,192/0,012 = 100,5 m/s

Відповідь

v = 100,5 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,975 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,2/9,81) = 2,975 s

Відповідь

T = 2,975 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,2025 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/1,6 = 3,927 rad/s

Виразіть час

0,7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,7) = 0,7954 rad

t = 0,7954/3,927 = 0,2025 s

Відповідь

t = 0,2025 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: h_i = −4 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/25

d_i = 100 cm

Збільшення і висота

m = −100/25 = −4

h_i = −4·1 = −4 cm

Відповідь

h_i = −4 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_a = 17,12 °

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,43/1,46 = 0,9795 → θc = 78,36°

Числова апертура

NA = √(1,46² − 1,43²) = 0,2944

Кут прийому

θ_a = arcsin(0,2944) = 17,12°

Відповідь

θ_a = 17,12°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics