Тренувальні задачі AP Physics 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 72 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,4 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 7,5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 72 km/ht_r = 1,4 sa = −7,5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 11 m/s з краю даху на висоті 40 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 11 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 16 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 16 kgθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 9,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 26 m/s, і він має впасти на відстані 45 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 26 m/sR = 45 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 28 m/s під кутом 50° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 28 m/sθ = 50°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 70 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 70 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,8 kg на нитці завдовжки 1,4 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 6 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,8 kgr = 1,4 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2 kg ковзає 18 m похилою площиною під кутом 30° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,25. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,25d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 5 kgh = 4,5 mL = 4 mμ = 0,15k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4,5 kg, що рухається зі швидкістю 11 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 1800 kg, що їде на схід зі швидкістю 18 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1100 kg, що їде на північ зі швидкістю 13 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 1800 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 13 m/s (N)

θ = °

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 0,4 kg на пружині з k = 210 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 7 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 3 cm від положення рівноваги.

m = 0,4 kgk = 210 N/mA = 7 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,8 kg на пружині з k = 360 N/m відтягують на 7 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 0,8 kgk = 360 N/mA = 7 cm

a_max = m/s²

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 54,67 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 20·1,4 = 28 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·7,5) = 26,67 m

Разом

d = 28 + 26,67 = 54,67 m

Відповідь

d = 54,67 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,189 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−40 = 11·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 11·t − 40 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (11 + √(11² + 2·9,81·40))/9,81 = 4,189 s

Відповідь

t = 4,189 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,216 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0,3·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2457) = 3,216 m/s²

Відповідь

a = 3,216 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,044 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 0)/12 = 2,044 m/s²

Відповідь

a = 2,044 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 20,39 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·45/26² = 0,653

Кут

2θ = 40,77° → θ = 20,39°

Відповідь

θ = 20,39°

Інший розв’язок 90° − θ = 69,61°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 38,45 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 28·sin 50° = 21,45 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 21,45²/(2·9,81) = 23,45 m

Висота над землею

H = 15 + 23,45 = 38,45 m

Відповідь

H = 38,45 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 14,35 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·70) = 14,35 m/s

Відповідь

v_max = 14,35 m/s (51,67 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 63,94 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,8·9,81 + 1,8·6²/1,4 = 17,66 + 46,29 = 63,94 N

Відповідь

T = 63,94 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 76,46 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 19,62·0,866 = 16,99 N

F = μN = 0,25·16,99 = 4,248 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 4,248·18 = 76,46 J

Відповідь

W_f = 76,46 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 39,12 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 49,05·(4,5 − 0,15·4) = 191,3 J

Найбільше стиснення

½kx² = 191,3 → x = √(2·191,3/2500) = 0,3912 m = 39,12 cm

Відповідь

x = 39,12 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 0,6471 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4,5 − 4)/(4,5 + 4)·11 = 0,6471 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 4)·11 = 11,65 m/s

Відповідь

v′₁ = 0,6471 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 23,81 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Складові імпульсу

p_x = 1800·18 = 32400 kg·m/s

p_y = 1100·13 = 14300 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 0,4414 → θ = 23,81°

Відповідь

θ = 23,81°

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 1,449 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(210/0,4) = 22,91 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 22,91·√(0,07² − 0,03²) = 1,449 m/s

Відповідь

v = 1,449 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 31,5 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(360/0,8) = 21,21 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,07·21,21² = 31,5 m/s²

Відповідь

a_max = 31,5 m/s²

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice