Тренувальні задачі AP Statistics: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 51, 49, 30, 18, 28, 46.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 76.

μ = 60σ = 8x = 76

z =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 4 червоних і 3 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

4 / 3

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 12p = 0,4k = 2

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,3616. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,3616

z =

6.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 20% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

7.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

8.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (19, 59). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(19, 59)

e =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 елементів має середнє 60 і стандартне відхилення s = 8. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 16x̄ = 60s = 895%t(15) = 2,131

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 10 ділянок, середній урожай 17 kg, стандартне відхилення 4 kg. Група ділянок 2: 12 ділянок, середнє 26,5 kg, стандартне відхилення 5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 17s₁ = 4n₂ = 12x̄₂ = 26,5s₂ = 599%t(20) = 2,845

верхня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 73,84 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,84s = 4n = 81

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ < 100 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12.5. Насправді середнє дорівнює 94. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 100μ = 94σ = 12,5n = 25α = 0,05

1 − β = %

13.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «міські, середній».

сума рядка = 60сума стовпця = 78N = 166

E =

14.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 1803 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 13,51

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 222/6 = 37

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 14² + 12² + (−7)² + (−19)² + (−9)² + 9² = 912

Стандартне відхилення

s = √(912/5) = 13,51

Відповідь

s = 13,51

2.Описова статистика

Відповідь: z = 2

Стандартизуйте

z = (76 − 60)/8 = 2

Відповідь

z = 2

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,2857

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 4/7 · 3/6 = 12/42 = 0,2857

Відповідь

P = 0,2857

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,06385

Біноміальна формула

P(X = 2) = 66·0,4²·0,6¹⁰ = 66·0,16·0,006047 = 0,06385

Відповідь

P = 0,06385

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,47

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,3616)/2 = 0,6808

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,6808 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,47

Відповідь

z = 0,47

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 183,9 cm

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Відповідь

x = 183,9 cm

7.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9893

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 548/6 = 91,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 366

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1955

Коефіцієнт кореляції

r = 366/√(70·1955) = 0,9893

Відповідь

r = 0,9893

8.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 3,833

Середні

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 415/6 = 69,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 245

Лінія регресії

b = 245/70 = 3,5

a = 69,17 − 3,5·23 = −11,33

ŷ = −11,33 + 3,5·x

Прогнозоване значення

ŷ = −11,33 + 3,5·19 = 55,17

Залишок

e = 59 − 55,17 = 3,833

Відповідь

e = 3,833

Точка лежить вище прямої.

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,262

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Похибка оцінки

E = 2,131·8/√16 = 4,262

Відповідь

E = 4,262

10.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −3,924 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (9·4² + 11·5²)/20 = 20,95

s_p = 4,577

Похибка оцінки

E = 2,845·4,577·√(1/10 + 1/12) = 5,576

Інтервал

−9,5 ± 5,576 → [−15,08, −3,924]

Відповідь

верхня межа = −3,924 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,61

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Статистика критерію

t = (73,84 − 75)/0,4444 = −2,61

Відповідь

t = −2,61

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 77,49 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 12,5/√25 = 2,5

x̄_c = 100 − 1,645·2,5 = 95,89

z при справжньому середньому

z = (95,89 − 94)/2,5 = 0,755

Потужність

потужність = P(Z < 0.755) = 77.49%

1 − β = 77,49%

Відповідь

1 − β = 77,49%

13.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 28,19

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 60·78/166 = 28,19

Відповідь

E = 28,19

14.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 10,71

Очікувані частоти

лінія 1: 28, 12

лінія 2: 42, 18

лінія 3: 56, 24

Статистика хі-квадрат

χ² = (32 − 28)²/28 + (8 − 12)²/12 + (48 − 42)²/42 + (12 − 18)²/18 + (46 − 56)²/56 + (34 − 24)²/24

χ² = 10,71

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

10,71 > 5,991

Відповідь

χ² = 10,71

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice