Тренувальні задачі AP Statistics: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 31, 53, 38, 31, 42, 37.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 70?

μ = 100σ = 15x = 70

P =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 8 червоних і 5 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

8 / 5

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 12p = 0,5k = 1

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9875. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9875

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

7.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 115Σy = 286Σx² = 2735Σy² = 17354Σxy = 6863

r =

8.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 16). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 16)

e =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 30 елементів має середнє 39 і стандартне відхилення s = 5,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 30x̄ = 39s = 5,599%t(29) = 2,756

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 21 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 10,8 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 20 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 9,591 і 2,5 % — вище від 34,17.

n = 21s = 10,8 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 97,9 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,9s = 15n = 100

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 2,5 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 9. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 80%δ = 2,5σ = 9z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1002 × 3

χ² =

14.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2603 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 8,214

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 232/6 = 38,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−7,667)² + 14,33² + (−0,6667)² + (−7,667)² + 3,333² + (−1,667)² = 337,3

Стандартне відхилення

s = √(337,3/5) = 8,214

Відповідь

s = 8,214

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,359

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0,359

Відповідь

P = 0,359

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,00293

Біноміальна формула

P(X = 1) = 12·0,5¹·0,5¹¹ = 12·0,5·0,0004883 = 0,00293

Відповідь

P = 0,00293

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −2,24

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,9875 = 0,0125

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,0125 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −2,24

Відповідь

z = −2,24

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 37,05 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Назад до x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Відповідь

x = 37,05 min

7.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9525

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 6863 − 115·286/5 = 285

S_xx = 2735 − 115²/5 = 90

S_yy = 17354 − 286²/5 = 994,8

Коефіцієнт кореляції

r = 285/√(90·994,8) = 0,9525

Відповідь

r = 0,9525

8.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,35

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Лінія регресії

b = −31/10 = −3,1

a = 17,8 − (−3,1)·3 = 27,1

ŷ = 27,1 − 3,1·x

Прогнозоване значення

ŷ = 27,1 + (−3,1)·2,5 = 19,35

Залишок

e = 16 − 19,35 = −3,35

Відповідь

e = −3,35

Точка лежить нижче прямої.

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 41,77

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Похибка оцінки

E = 2,756·5,5/√30 = 2,767

Інтервал

39 ± 2,767 → [36,23, 41,77]

Відповідь

верхня межа = 41,77

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 8,263 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 20·10,8² = 2333

Межі для σ²

2333/34,17 = 68,27

2333/9,591 = 243,2

Межа для σ

σ = √68,27 = 8,263 µm

Відповідь

σ = 8,263 µm

95 % інтервал для σ: [8,263, 15,6] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Статистика критерію

t = (97,9 − 100)/1,5 = −1,4

Відповідь

t = −1,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 131

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 0,842)·9/2,5)² = 130,1

Округліть угору

n = 131

Відповідь

n = 131

13.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 11,79

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

міські: 60·20/100 = 12, 60·45/100 = 27, 60·35/100 = 21

сільські: 40·20/100 = 8, 40·45/100 = 18, 40·35/100 = 14

Статистика хі-квадрат

χ² = (10 − 12)²/12 + (21 − 27)²/27 + (29 − 21)²/21 + (10 − 8)²/8 + (24 − 18)²/18 + (6 − 14)²/14

χ² = 11,79

Відповідь

χ² = 11,79

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

14.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5,89

Очікувані частоти

завод A: 50, 50

завод B: 40, 40

завод C: 40, 40

Статистика хі-квадрат

χ² = (41 − 50)²/50 + (59 − 50)²/50 + (47 − 40)²/40 + (33 − 40)²/40 + (42 − 40)²/40 + (38 − 40)²/40

χ² = 5,89

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

5,89 < 5,991

Відповідь

χ² = 5,89

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice