У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €20 000 під 7 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 3 років.
PV = €20 000r = 7%t = 3
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 23? Знайдіть залишок боргу B.
P = €150 0005,4% / 12N = 360k = 276
B = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €8 000 наприкінці кожного року протягом 6 років. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €25 000 і приносить €13 500, €15 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 13 500CF2 = 15 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 4%n = 5
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 5 років і продається за €1 045. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 5P = €1 045
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 1,2 має необхідну дохідність 10,7%. Безризикова ставка 3,5%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 1,2re = 10,7%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1,2. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Ставка податку 21%, безризикова ставка 4%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 1,2D/E = 0,4T = 21%rf = 4%rm − rf = 5%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €22 за одиницю при змінних витратах €12 на одиницю. Постійні витрати — €12 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €6 000?
F = €12 000p = €22v = €12прибуток = €6 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 1 880 одиниць на місяць по €31 зі змінними витратами €25 на одиницю й постійними витратами €9 000 на місяць. Змінні витрати зростають на €2 на одиницю, а ціна не змінюється. Скільки одиниць Q тепер треба продавати на місяць, щоб зберегти той самий прибуток?
Q = 1 880p = €31v = €25 → €27F = €9 000
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 24674 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,07·3 = 0,21
e0,21 = 1,234
Майбутня вартість
FV = 20 000·1,234 = €24 673,56
Відповідь
FV = €24 673,56
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 58809 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,0045, N = 360
A = 150 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−360) = €842,30
Теперішня вартість решти платежів
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 360 − 276 = 84
B = 842,3·(1 − (1 + 0,0045)−84)/0,0045 = €58 808,78
Відповідь
B = €58 808,78
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 4,934 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 8 000/1,1 = 7 272,73 → Σ = 7 272,73
рік 2: 8 000/1,21 = 6 611,57 → Σ = 13 884,30
рік 3: 8 000/1,331 = 6 010,52 → Σ = 19 894,82
рік 4: 8 000/1,464 = 5 464,11 → Σ = 25 358,92
рік 5: 8 000/1,611 = 4 967,37 → Σ = 30 326,29
Частка останнього року
DPB = 4 + 4 641,08/4 967,37 = 4,934
Відповідь
DPB = 4,934 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,75 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 10,24 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(10%) = 82,64
NPV(15%) = −1 540,64
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 10 + 5·82,64/(82,64 − (−1 540,64)) = 10,25%
точно: NPV(10,24%) = 0 → IRR = 10,24%
Відповідь
IRR = 10,24%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1180 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, i = 0,02, N = 10
Теперішня вартість купонів
€40,00·(1 − 0,8203)/0,02 = €359,30
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8203 = €820,35
Ціна
P = €1 179,65
Відповідь
P = €1 179,65
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,962 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 045 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(4%) = €1 089,04, P(5%) = €1 043,29
YTM = 4,962%
Відповідь
YTM = 4,962%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 9,5 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (10,7% − 3,5%)/1,2 = 6%
Ринкова дохідність
rm = 3,5% + 6% = 9,5%
Відповідь
rm = 9,5%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 11,9 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1,2·(1 + 0,79·0,4) = 1,579
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 1,579·5% = 11,9%
Відповідь
re = 11,9%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 1800 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).