Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність алгоритму Беллмана–Форда на графі з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Які часові та просторові витрати обчислення n-го числа Фібоначчі циклом, що зберігає лише два останні значення?

  1. AO(n) часу та O(1) пам'яті
  2. BO(2ⁿ) часу та O(1) пам'яті
  3. CO(n) часу та O(n) пам'яті
  4. DO(log n) часу та O(n) пам'яті
3.Структури данихСередня

AVL-дерева та червоно-чорні дерева гарантують:

  1. AЩо жоден вузол не має двох дітей
  2. BПошук за сталий час у будь-якому випадку
  3. CЗберігання ключів у порядку вставлення
  4. DВисоту O(log n) завдяки перебалансуванню
4.Структури данихСкладна

Чим radix-дерево (стиснене префіксне дерево) краще за звичайне trie?

  1. AВоно сортує дітей кожного вузла за частотою
  2. BВоно зберігає кожне слово в геш-таблиці в корені замість окремих вузлів
  3. CВоно зберігає лише першу літеру кожного слова
  4. DВоно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
91514341761081ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(V × E)

Чому це відповідь

Кожен із V − 1 раундів релаксує всі E ребер, що дає O(VE); натомість він працює з від'ємними вагами ребер.

Відповідь

D · O(V × E)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n) часу та O(1) пам'яті

Чому це відповідь

Кожному крокові потрібні лише два попередні значення, тож таблицю методу «знизу вгору» можна замінити двома змінними.

Відповідь

A · O(n) часу та O(1) пам'яті
3.Структури даних

Відповідь: D · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

Чому це відповідь

Самобалансовані дерева зберігають логарифмічну висоту, тому пошук, вставлення та видалення в найгіршому випадку мають складність O(log n).

Відповідь

D · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню
4.Структури даних

Відповідь: D · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком

Чому це відповідь

Стискання шляхів без розгалужень зменшує кількість вузлів і використану пам'ять, зберігаючи пошук за префіксом.

Відповідь

D · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Непарні вершини

C, D → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 33

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

GD (1): взяти
BD (3): взяти
CE (4): взяти
DF (6): взяти
GB (8): пропустити, замикає цикл
AB (9): взяти
EF (10): взяти

Загальна вага

W = 1 + 3 + 4 + 6 + 9 + 10 = 33

Відповідь

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms