Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність множення двох матриць n × n стандартним потрійним циклом?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про позначення «мале o» правильне?

  1. A2n = o(n), бо 2n зростає повільно
  2. Bn² = o(n)
  3. Cn = o(n), бо кожна функція є «мале o» від самої себе
  4. Dn = o(n²), але n не є o(n)
3.Структури данихСередня

Застосунку потрібен швидкий пошук, а також виведення ключів у відсортованому порядку та відповіді на запити діапазону. Яка структура підходить найкраще?

  1. AЗбалансоване бінарне дерево пошуку
  2. BСтек
  3. CНевідсортований зв'язний список
  4. DГеш-таблиця
4.Структури данихСкладна

Яка структура даних забезпечує кеш LRU (least recently used) з операціями get і put за O(1)?

  1. AЛише бінарне дерево пошуку
  2. BОдин відсортований масив
  3. CЛише стек
  4. DГеш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 12 вершин і 18 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 12|E| = 18
k =
6.Теорія графівСкладна
14668464141214ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 5; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n³)

Чому це відповідь

Є n² елементів, і кожному потрібно n множень, що дає n³ операцій.

Відповідь

B · O(n³)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · n = o(n²), але n не є o(n)

Чому це відповідь

f = o(g) означає, що f(n) / g(n) прямує до 0; n / n² прямує до 0, а n / n = 1 — ні.

Відповідь

D · n = o(n²), але n не є o(n)
3.Структури даних

Відповідь: A · Збалансоване бінарне дерево пошуку

Чому це відповідь

Збалансоване BST дає пошук за O(log n) і зберігає ключі впорядкованими, тож симетричний обхід і запити діапазону прості; геш-таблиця розкидає ключі.

Відповідь

A · Збалансоване бінарне дерево пошуку
4.Структури даних

Відповідь: D · Геш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком

Чому це відповідь

Геш-мапа знаходить вузли за O(1), а двозв'язний список переміщує використані елементи на початок і видаляє з кінця за O(1).

Відповідь

D · Геш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком
5.Теорія графів

Відповідь: k = 7

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

12 − 1 = 11

Ребра для вилучення

k = 18 − 11 = 7

Відповідь

k = 7
6.Теорія графів

Відповідь: F

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 14
2. B (14): D: 20, G: 18
3. G (18): C: 32, E: 32
4. D (20): E: 28, F: 24
5. F (24)
6. E (28)
7. C (32)

раунд 5

F

Відповідь

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms