Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

У відсортованому масиві ви шукаєте два елементи із заданою сумою, рухаючи по одному вказівнику з кожного кінця всередину. Яка часова складність?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Узявши обидва кінці кожного ребра максимального (за включенням) паросполучення, отримують вершинне покриття. Наскільки воно добре?

  1. AНевідомої якості порівняно з оптимумом
  2. BЗавжди мінімальне вершинне покриття
  3. CЩонайбільше в log n разів більше за мінімум
  4. DЩонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
3.Структури данихСередня

Як вставляють новий елемент у бінарну купу?

  1. AВставляють його на відсортовану позицію, зсуваючи всі більші елементи на одне місце праворуч
  2. BПеребудовують усю купу з нуля
  3. CРозміщують його в корені й просіюють униз
  4. DРозміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи
4.Структури данихСкладна

Яка пара обходів завжди однозначно визначає бінарне дерево з різними ключами?

  1. AЛише прямий обхід
  2. BПрямий і симетричний обходи
  3. CПрямий і зворотний обходи
  4. DЛише обхід по рівнях
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
3102013615111ABCDEF

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n)

Чому це відповідь

Якщо сума замала, лівий вказівник рухається праворуч, якщо завелика — правий рухається ліворуч, тож кроків щонайбільше n.

Відповідь

A · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття

Чому це відповідь

Ребра паросполучення не мають спільних вершин, тож оптимуму потрібна щонайменше одна вершина на ребро, а цей метод бере дві: це 2-наближення.

Відповідь

D · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
3.Структури даних

Відповідь: D · Розміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи

Чому це відповідь

Додавання в кінець зберігає повноту дерева; обміни з батьком відновлюють порядок за O(log n) кроків.

Відповідь

D · Розміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи
4.Структури даних

Відповідь: B · Прямий і симетричний обходи

Чому це відповідь

Прямий обхід дає корінь, а його позиція в симетричній послідовності розділяє ліве й праве піддерева; прямий обхід разом зі зворотним неоднозначний, коли вузол має одну дитину.

Відповідь

B · Прямий і симетричний обходи
5.Теорія графів

Відповідь: L = 14

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 36 = 2(L + 12) − 2
L = 14

Відповідь

L = 14

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 33

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

DF (1): взяти
AB (3): взяти
CE (6): взяти
AC (10): взяти
BE (11): пропустити, замикає цикл
BD (13): взяти

Загальна вага

W = 1 + 3 + 6 + 10 + 13 = 33

Відповідь

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms