Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Часова складність наївного рекурсивного обчислення чисел Фібоначчі (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) є:

  1. AЛінійною
  2. BЛогарифмічною
  3. CСталою
  4. DЕкспоненційною
2.Алгоритми та складністьСкладна

Узявши обидва кінці кожного ребра максимального (за включенням) паросполучення, отримують вершинне покриття. Наскільки воно добре?

  1. AЩонайбільше в log n разів більше за мінімум
  2. BНевідомої якості порівняно з оптимумом
  3. CЩонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
  4. DЗавжди мінімальне вершинне покриття
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті використовує список суміжності для графа з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E²)
  4. DO(V²)
4.Структури данихСкладна

Яка вартість однієї операції find у найгіршому випадку в структурі union-find з n елементами без об'єднання за рангом і стиснення шляхів?

  1. AO(log n)
  2. BO(α(n))
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
181111615121ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Експоненційною

Чому це відповідь

Дерево викликів зростає приблизно як φⁿ (близько 1,618ⁿ). Мемоізація зменшує складність до O(n).

Відповідь

D · Експоненційною
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття

Чому це відповідь

Ребра паросполучення не мають спільних вершин, тож оптимуму потрібна щонайменше одна вершина на ребро, а цей метод бере дві: це 2-наближення.

Відповідь

C · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
3.Структури даних

Відповідь: A · O(V + E)

Чому це відповідь

Кожна вершина має список, а кожне ребро трапляється один раз (орієнтований граф) або двічі (неорієнтований), що дає O(V + E).

Відповідь

A · O(V + E)
4.Структури даних

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Наївні об'єднання можуть зв'язати дерева в довгий ланцюжок, тож find може пройти n − 1 вказівників на батька; дві евристики роблять вартість майже сталою.

Відповідь

D · O(n)
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Непарні вершини

C, D, E, F → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: C

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 1, C: 8
2. B (1): D: 12, E: 2
3. E (2)
4. C (8)
5. D (12): F: 24
6. F (24)

раунд 4

C

Відповідь

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms