Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що випливало б, якби хтось знайшов поліноміальний алгоритм для однієї NP-повної задачі?

  1. AКожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
  2. BПроблема зупинки стала б розв'язною
  3. CУсі алгоритми з експоненційним часом негайно стали б працювати за лінійний час
  4. DЛише ця одна задача перейшла б до P
3.Структури данихСередня

Скільки триває пошук слова довжиною L у префіксному дереві (trie) з фіксованим алфавітом?

  1. AO(log n), де n — кількість слів
  2. BO(n), де n — кількість слів
  3. CO(L), незалежно від кількості збережених слів
  4. DO(L × n)
4.Структури данихСкладна

Яка вартість однієї операції find у найгіршому випадку в структурі union-find з n елементами без об'єднання за рангом і стиснення шляхів?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(log n)
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K5? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K5
H =
6.Теорія графівСкладна
ABCDE

Скільки маршрутів довжиною 2 ведуть від E до C? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n²)

Чому це відповідь

Сумарна робота становить близько n² / 2; це рекурентне співвідношення сортування вибором або швидкого сортування з найгіршим опорним елементом.

Відповідь

B · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP

Чому це відповідь

Оскільки весь клас NP зводиться до будь-якої NP-повної задачі за поліноміальний час, швидкий алгоритм для однієї дає швидкий алгоритм для всіх.

Відповідь

A · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
3.Структури даних

Відповідь: C · O(L), незалежно від кількості збережених слів

Чому це відповідь

Кожен символ обирає одну дитину, тож пошук займає L кроків незалежно від того, скільки слів містить trie.

Відповідь

C · O(L), незалежно від кількості збережених слів
4.Структури даних

Відповідь: B · O(n)

Чому це відповідь

Наївні об'єднання можуть зв'язати дерева в довгий ланцюжок, тож find може пройти n − 1 вказівників на батька; дві евристики роблять вартість майже сталою.

Відповідь

B · O(n)
5.Теорія графів

Відповідь: H = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Відповідь

H = 12
6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Спільні сусіди

(M²)EC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

Відповідь

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms