Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка амортизована часова складність додавання елемента в кінець динамічного масиву, який подвоює свою місткість у разі заповнення?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Алгоритми та складністьСкладна

За основною теоремою (master theorem) розв'язком T(n) = 8T(n/2) + O(n²) є:

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n² log n)
3.Структури данихСередня

AVL-дерева та червоно-чорні дерева гарантують:

  1. AВисоту O(log n) завдяки перебалансуванню
  2. BЩо жоден вузол не має двох дітей
  3. CЗберігання ключів у порядку вставлення
  4. DПошук за сталий час у будь-якому випадку
4.Структури данихСкладна

Чим radix-дерево (стиснене префіксне дерево) краще за звичайне trie?

  1. AВоно зберігає лише першу літеру кожного слова
  2. BВоно зберігає кожне слово в геш-таблиці в корені замість окремих вузлів
  3. CВоно сортує дітей кожного вузла за частотою
  4. DВоно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 9 вершин і 19 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 9|E| = 19
k =
6.Теорія графівСкладна
116125131014ABCDE

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини D. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4.

початок: Dk = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(1)

Чому це відповідь

Копіювання всіх елементів відбувається лише на степенях двійки; якщо розподілити ці витрати на всі додавання, середня вартість одного додавання стала.

Відповідь

D · O(1)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Θ(n³)

Чому це відповідь

log₂ 8 = 3, а n² зростає повільніше за n³, тому домінують листки: Θ(n³).

Відповідь

B · Θ(n³)
3.Структури даних

Відповідь: A · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

Чому це відповідь

Самобалансовані дерева зберігають логарифмічну висоту, тому пошук, вставлення та видалення в найгіршому випадку мають складність O(log n).

Відповідь

A · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню
4.Структури даних

Відповідь: D · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком

Чому це відповідь

Стискання шляхів без розгалужень зменшує кількість вузлів і використану пам'ять, зберігаючи пошук за префіксом.

Відповідь

D · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
5.Теорія графів

Відповідь: k = 11

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

9 − 1 = 8

Ребра для вилучення

k = 19 − 8 = 11

Відповідь

k = 11
6.Теорія графів

Відповідь: ребро BC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. BD (5)
2. AB (1)
3. DE (10)
4. BC (12)

номер ребра 4

BC

Відповідь

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms