Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому будь-який пошук порівняннями у відсортованому масиві потребує Ω(log n) порівнянь у найгіршому випадку?

  1. AКожен елемент треба порівняти щонайменше один раз
  2. BБінарний пошук — єдиний можливий алгоритм, і йому потрібно log₂ n порівнянь
  3. CДерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n
  4. DКожне порівняння триває логарифмічний час
3.Структури данихСередня

Який абстрактний тип даних використовує алгоритм Дейкстри, щоб обрати наступну вершину для обробки?

  1. AМножину без упорядкування
  2. BЧергу FIFO
  3. CСтек
  4. DМін-чергу з пріоритетом
4.Структури данихСкладна

Потрібно зберігати k найменших значень із потоку n чисел, використовуючи O(k) пам'яті. Який підхід працює за час O(n log k)?

  1. AВідсортований масив усіх n значень
  2. BМакс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення
  3. CЧерга FIFO з останніх k значень
  4. DМін-купа, що містить усі n значень, з якої наприкінці вилучають k найменших
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 19 вершин і 23 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 19|E| = 23
k =
6.Теорія графівСкладна
7332108514ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(D) найкоротшого шляху від A до D у зваженому графі.

початок: Aкінець: D
d(D) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n)

Чому це відповідь

Є n рівнів зі сталою роботою на кожному, як у рекурсивному обчисленні суми масиву.

Відповідь

C · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Дерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n

Чому це відповідь

Кожне порівняння щонайбільше вдвічі зменшує множину можливостей, що залишилися, тож для розрізнення n позицій потрібно щонайменше log₂ n порівнянь.

Відповідь

C · Дерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n
3.Структури даних

Відповідь: D · Мін-чергу з пріоритетом

Чому це відповідь

Мін-черга з пріоритетом, зазвичай бінарна купа, ефективно повертає невідвідану вершину з найменшою відстанню.

Відповідь

D · Мін-чергу з пріоритетом
4.Структури даних

Відповідь: B · Макс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення

Чому це відповідь

Корінь макс-купи — найбільше збережене значення; будь-яке менше нове значення замінює його за O(log k), тож купа завжди містить k найменших значень на цей момент.

Відповідь

B · Макс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення
5.Теорія графів

Відповідь: k = 5

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

19 − 1 = 18

Ребра для вилучення

k = 23 − 18 = 5

Відповідь

k = 5
6.Теорія графів

Відповідь: d(D) = 10

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 7
B (7): C: 10, D: 10, E: 21
C (10): E: 12
D (10): F: 18
E (12): F: 17
F (17)

Найкоротший шлях

A → B → D
d(D) = 10

Відповідь

d(D) = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms