Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про вибір k-го найменшого елемента невідсортованого масиву правильне?

  1. AQuickselect працює за O(log n) у найгіршому випадку, бо рекурсивно переходить лише в один бік від опорного елемента
  2. BQuickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку
  3. CВибір завжди потребує Ω(n log n), бо вимагає сортування
  4. DВибір можливий лише за O(n²)
3.Структури данихСередня

AVL-дерева та червоно-чорні дерева гарантують:

  1. AПошук за сталий час у будь-якому випадку
  2. BЗберігання ключів у порядку вставлення
  3. CВисоту O(log n) завдяки перебалансуванню
  4. DЩо жоден вузол не має двох дітей
4.Структури данихСкладна

Якого правила мають дотримуватися геш і рівність, щоб геш-таблиця працювала правильно?

  1. AРівні геш-значення означають рівні ключі
  2. BРівні ключі мусять мати рівні геш-значення
  3. CГеш-значення мусять бути простими числами
  4. DРізні ключі мусять мати різні геш-значення
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 32 × deg 43 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки маршрутів довжиною 3 ведуть від B до E? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n)

Чому це відповідь

За основною теоремою (master theorem) nlog₂ 2 = n домінує над сталою роботою, тож T(n) = Θ(n), як під час пошуку максимуму діленням навпіл.

Відповідь

A · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку

Чому це відповідь

Очікувана робота quickselect із випадковими опорними елементами — n + n/2 + n/4 + ... = O(n); вибір опорного елемента як медіани медіан робить найгірший випадок лінійним.

Відповідь

B · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку
3.Структури даних

Відповідь: C · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

Чому це відповідь

Самобалансовані дерева зберігають логарифмічну висоту, тому пошук, вставлення та видалення в найгіршому випадку мають складність O(log n).

Відповідь

C · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню
4.Структури даних

Відповідь: B · Рівні ключі мусять мати рівні геш-значення

Чому це відповідь

Якби два рівні ключі мали різні геші, вони зберігалися б у різних кошиках і пошук не вдавався б; нерівні ключі можуть мати спільний геш.

Відповідь

B · Рівні ключі мусять мати рівні геш-значення
5.Теорія графів

Відповідь: L = 8

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 20 = 2(L + 7) − 2
L = 8

Відповідь

L = 8

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: N = 8

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Ще один крок

(M³)BE = 0·0 + 4·1 + 1·1 + 1·1 + 2·0 + 2·1 = 8

Відповідь

N = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms