Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AТак, але лише якщо n менше за 100
  2. BНі, бо для великих n n³ менше за n²
  3. CНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
  4. DТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складністьСкладна

Для якого варіанта задачі про рюкзак жадібне правило «брати предмети в порядку цінності на одиницю ваги» завжди дає оптимальну відповідь?

  1. AДля жодного варіанта
  2. BДля неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
  3. CДля обох варіантів
  4. DДля рюкзака 0/1, де предмети завжди потрібно брати цілими
3.Структури данихСередня

Що відбувається, коли геш-таблиця виконує повторне гешування (rehash) після того, як коефіцієнт заповнення перевищив поріг?

  1. AВиділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
  2. BНаявні ключі сортуються на місці
  3. CЛише ключі з колізіями переміщуються в новий список переповнення в кінці таблиці
  4. DНайстаріші ключі видаляються, щоб звільнити місце
4.Структури данихСкладна

Для чого використовують структуру union-find в алгоритмі Краскала для мінімального кістякового дерева?

  1. AЩоб зберігати поточну відстань кожної вершини від джерела під час пошуку
  2. BЩоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
  3. CЩоб обрати початкову вершину
  4. DЩоб відсортувати ребра за вагою
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
141671141092820ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

D · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити

Чому це відповідь

Коли предмети можна ділити, оптимально брати спершу з найкращим відношенням; у рюкзаку 0/1 предмет із високим відношенням може заблокувати кращу комбінацію, тож потрібне динамічне програмування.

Відповідь

B · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури даних

Відповідь: A · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову

Чому це відповідь

Оскільки індекс обчислюється за модулем розміру таблиці, усі ключі треба повторно гешувати в нову, більшу таблицю; за подвоєння розміру це залишається O(1) амортизовано.

Відповідь

A · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
4.Структури даних

Відповідь: B · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра

Чому це відповідь

Find показує, чи обидва кінці в одній компоненті; якщо ні, ребро додається, а union об'єднує компоненти.

Відповідь

B · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
5.Теорія графів

Відповідь: L = 24

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 50 = 2(L + 14) − 2
L = 24

Відповідь

L = 24

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 29

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

AC (1): взяти
GB (2): взяти
DE (4): взяти
BC (6): взяти
BD (7): взяти
GC (8): пропустити, замикає цикл
EF (9): взяти

Загальна вага

W = 1 + 2 + 4 + 6 + 7 + 9 = 29

Відповідь

W = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms