Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність алгоритму Беллмана–Форда на графі з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(E log V)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому бінарний пошук не дає часу O(log n) на однозв'язному списку?

  1. AЩоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом
  2. BПорівняння вузлів зв'язного списку повільніші
  3. CЗв'язні списки неможливо сортувати
  4. DБінарному пошуку потрібно щонайменше вдвічі більше пам'яті
3.Структури данихСередня

Вузол бінарного дерева пошуку має праве піддерево. Де розташований його наступник у симетричному порядку (in-order successor)?

  1. AКрайній лівий вузол його правого піддерева
  2. BКрайній правий вузол його лівого піддерева
  3. CЗавжди його права дитина
  4. DЗавжди його батько
4.Структури данихСкладна

Які операції підтримує дерево Фенвіка (binary indexed tree) над масивом із n чисел за O(log n)?

  1. AЗнаходження медіани за O(1)
  2. BЗапити префіксних сум і оновлення окремих елементів
  3. CВставлення елементів у будь-яку позицію
  4. DСортування масиву та бінарний пошук
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K6? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K6
H =
6.Теорія графівСкладна
18152092816ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2; пропущені ребра не враховуються.

k = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(V × E)

Чому це відповідь

Кожен із V − 1 раундів релаксує всі E ребер, що дає O(VE); натомість він працює з від'ємними вагами ребер.

Відповідь

B · O(V × E)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Щоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом

Чому це відповідь

Бінарний пошук потребує доступу до середини за O(1); у зв'язному списку прохід туди коштує лінійного часу, тож загалом виходить O(n).

Відповідь

A · Щоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом
3.Структури даних

Відповідь: A · Крайній лівий вузол його правого піддерева

Чому це відповідь

Усі більші ключі, близькі до вузла, розташовані в його правому піддереві, а найменший із них — це крайній лівий вузол там.

Відповідь

A · Крайній лівий вузол його правого піддерева
4.Структури даних

Відповідь: B · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів

Чому це відповідь

Дерево Фенвіка зберігає часткові суми на діапазонах, визначених молодшими бітами кожного індексу, тож і префіксні суми, і точкові оновлення займають O(log n).

Відповідь

B · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів
5.Теорія графів

Відповідь: H = 60

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Відповідь

H = 60
6.Теорія графів

Відповідь: ребро DE

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. CE (2)
2. DE (8)
3. BD (9)
4. AC (15)

номер ребра 2

DE

Відповідь

ребро DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms