Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Швидке сортування завжди бере опорним перший елемент. На яких вхідних даних воно демонструє поведінку найгіршого випадку?

  1. AНа вже відсортованому масиві
  2. BНа масиві довжини 2
  3. CНа масиві у випадковому порядку
  4. DНа масиві, всі елементи якого різні
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який прийом забезпечує очікуваний час роботи O(n log n) для швидкого сортування на будь-яких вхідних даних?

  1. AЗастосування рекурсії лише до лівої частини
  2. BВибір завжди першого елемента
  3. CВибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
  4. DСортування вхідних даних перед запуском швидкого сортування
3.Структури данихСередня

Кільцевий буфер (ring buffer) зазвичай використовують для реалізації:

  1. AЧерги фіксованого розміру
  2. BБінарного дерева пошуку
  3. CГеш-функції
  4. DОбходу графа
4.Структури данихСкладна

Чим radix-дерево (стиснене префіксне дерево) краще за звичайне trie?

  1. AВоно зберігає лише першу літеру кожного слова
  2. BВоно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
  3. CВоно зберігає кожне слово в геш-таблиці в корені замість окремих вузлів
  4. DВоно сортує дітей кожного вузла за частотою
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 33 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
2791631810ABCDE

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · На вже відсортованому масиві

Чому це відповідь

На відсортованих даних опорний елемент завжди мінімальний, тож одна частина порожня, а інша має n − 1 елементів, що дає O(n²).

Відповідь

A · На вже відсортованому масиві
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом

Чому це відповідь

З випадковим опорним елементом очікуваний час роботи становить O(n log n) для будь-яких вхідних даних; погані випадки все ще можливі, але дуже малоймовірні.

Відповідь

C · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
3.Структури даних

Відповідь: A · Черги фіксованого розміру

Чому це відповідь

Кільцевий буфер використовує індекси head і tail, які циклічно переходять на початок, забезпечуючи enqueue і dequeue за O(1) у фіксованому обсязі пам'яті.

Відповідь

A · Черги фіксованого розміру
4.Структури даних

Відповідь: B · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком

Чому це відповідь

Стискання шляхів без розгалужень зменшує кількість вузлів і використану пам'ять, зберігаючи пошук за префіксом.

Відповідь

B · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
5.Теорія графів

Відповідь: L = 22

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

Відповідь

L = 22

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 28

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

AB (2): взяти
CE (3): взяти
AC (7): взяти
BC (9): пропустити, замикає цикл
BE (10): пропустити, замикає цикл
BD (16): взяти

Загальна вага

W = 2 + 3 + 7 + 16 = 28

Відповідь

W = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms