Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як класифікують задачу комівояжера?

  1. AВона нерозв'язна
  2. BВерсія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною
  3. CВона належить до P, бо її розв'язує алгоритм Дейкстри, відвідуючи кожне місто один раз
  4. DВерсія розпізнавання належить до P, а оптимізаційна — NP-повна
3.Структури данихСередня

Бінарне дерево має корінь 1 з лівою дитиною 2 і правою дитиною 3; вузол 2 має дітей 4 (ліва) і 5 (права). Який зворотний обхід (postorder)?

  1. A5 4 3 2 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Структури данихСкладна

Скільки триває пошук довільного ключа в бінарній мін-купі з n елементів?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log log n)
  4. DO(n)
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
151413173725ABCDEF

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4; пропущені ребра не враховуються.

k = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро DF
  8. 8ребро EF

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n²)

Чому це відповідь

Сумарна робота становить близько n² / 2; це рекурентне співвідношення сортування вибором або швидкого сортування з найгіршим опорним елементом.

Відповідь

B · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Версія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною

Чому це відповідь

«Чи існує маршрут довжиною щонайбільше k?» — NP-повна задача; пошук найкоротшого маршруту — NP-складна, бо вона щонайменше така ж складна.

Відповідь

B · Версія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною
3.Структури даних

Відповідь: D · 4 5 2 3 1

Чому це відповідь

Зворотний обхід обробляє 4 і 5 перед 2, потім 3 і нарешті корінь 1.

Відповідь

D · 4 5 2 3 1
4.Структури даних

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Купа не дає правила, яке піддерево містить ключ, тож у найгіршому випадку треба перевірити всі вузли; швидко знаходиться лише мінімум.

Відповідь

D · O(n)
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Непарні вершини

A, B, C, E → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: ребро BC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. DF (2)
2. CE (3)
3. EF (5)
4. BC (13)
5. AC (14)

номер ребра 4

BC

Відповідь

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms