Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AТак, але лише якщо n менше за 100
  2. BНі, бо для великих n n³ менше за n²
  3. CТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
  4. DНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке визначення класу NP правильне?

  1. AЗадачі, що не є поліноміальними
  2. BЗадачі розпізнавання, відповіді «так» для яких можна перевірити за поліноміальний час за наявності сертифіката
  3. CЗадачі, які не може розв'язати жоден алгоритм
  4. DЗадачі, які неможливо розв'язати за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Бінарне дерево має корінь 1 з лівою дитиною 2 і правою дитиною 3; вузол 2 має дітей 4 (ліва) і 5 (права). Який зворотний обхід (postorder)?

  1. A5 4 3 2 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Структури данихСкладна

Яка структура дає змогу обчислити максимум кожного вікна розміру k у масиві за загальний час O(n)?

  1. AОднозв'язний список елементів вікна
  2. BМін-купа, перебудована для кожного вікна
  3. CДек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
  4. DВідсортований масив, що оновлюється зсувом
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 19 вершин і 20 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 19|E| = 20
k =
6.Теорія графівСкладна
201101947529315ABCDEFG

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини C. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4.

початок: Ck = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро GB
  9. 9ребро GC
  10. 10ребро GD
  11. 11ребро GE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

C · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Задачі розпізнавання, відповіді «так» для яких можна перевірити за поліноміальний час за наявності сертифіката

Чому це відповідь

Для задачі з NP запропонований розв'язок (сертифікат) можна швидко перевірити, наприклад переконатися, що задане присвоєння задовольняє булеву формулу.

Відповідь

B · Задачі розпізнавання, відповіді «так» для яких можна перевірити за поліноміальний час за наявності сертифіката
3.Структури даних

Відповідь: D · 4 5 2 3 1

Чому це відповідь

Зворотний обхід обробляє 4 і 5 перед 2, потім 3 і нарешті корінь 1.

Відповідь

D · 4 5 2 3 1
4.Структури даних

Відповідь: C · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень

Чому це відповідь

Початок дека завжди є максимумом вікна; кожен індекс входить у дек і виходить із нього один раз, тож обсяг роботи лінійний.

Відповідь

C · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
5.Теорія графів

Відповідь: k = 2

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

19 − 1 = 18

Ребра для вилучення

k = 20 − 18 = 2

Відповідь

k = 2
6.Теорія графів

Відповідь: ребро GD

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. AC (1)
2. GC (9)
3. GB (2)
4. GD (3)
5. DE (4)
6. EF (5)

номер ребра 4

GD

Відповідь

ребро GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms