Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що обчислює алгоритм Флойда–Воршелла і як швидко?

  1. AТопологічний порядок за O(V²)
  2. BМінімальне кістякове дерево за O(E log V)
  3. CНайкоротші шляхи від однієї початкової вершини до всіх інших за O(V + E)
  4. DНайкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Проблема зупинки показує, що:

  1. AКожна програма врешті-решт зупиняється
  2. BЖоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона
  3. CДеякі програми працюють швидше на швидших комп'ютерах, тож зупинка залежить від апаратного забезпечення
  4. DСлід уникати циклів
3.Структури данихСередня

Ключі 50, 30, 70, 20, 40 вставляють у такому порядку в порожнє бінарне дерево пошуку. Яка ліва дитина вузла 30?

  1. A70
  2. B20
  3. C40
  4. D50
4.Структури данихСкладна

Видалення вузла з двома дітьми з бінарного дерева пошуку зазвичай виконують так:

  1. AВидаляють усе піддерево
  2. BПеребудовують піддерево під ним з нуля й повторно вставляють усі ключі, які воно містило
  3. CЗамінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
  4. DМіняють його місцями з коренем
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 9 вершин і 20 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 9|E| = 20
k =
6.Теорія графівСкладна
418128191517ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4; пропущені ребра не враховуються.

k = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)

Чому це відповідь

Флойд–Воршелл — алгоритм динамічного програмування, що по черзі дозволяє кожну вершину як проміжну, витрачаючи O(V³) часу.

Відповідь

D · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Жоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона

Чому це відповідь

Тюрінг показав, що проблема зупинки нерозв'язна: припущення про існування розв'язувального алгоритму призводить до суперечності з програмою, яка робить протилежне.

Відповідь

B · Жоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона
3.Структури даних

Відповідь: B · 20

Чому це відповідь

20 менше за 50 і менше за 30, тож стає лівою дитиною вузла 30; 40 стає його правою дитиною.

Відповідь

B · 20
4.Структури даних

Відповідь: C · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол

Чому це відповідь

In-order наступник має щонайбільше одну дитину, тому його легко видалити після копіювання його ключа у вузол, що видаляється.

Відповідь

C · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
5.Теорія графів

Відповідь: k = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

9 − 1 = 8

Ребра для вилучення

k = 20 − 8 = 12

Відповідь

k = 12
6.Теорія графів

Відповідь: ребро DE

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. AB (4)
2. BD (8)
3. BC (12)
4. DE (15)

номер ребра 4

DE

Відповідь

ребро DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms