Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Скільки рівнів має рекурсія сортування злиттям для масиву з n елементів?

  1. AБлизько n
  2. BБлизько log₂ n
  3. CБлизько √n
  4. DБлизько n / 2
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке визначення класу P правильне?

  1. AЗадачі, що потребують експоненційного часу на будь-якому комп'ютері
  2. BЗадачі, розв'язки яких можна перевірити, але ніколи не можна знайти за поліноміальний час
  3. CЗадачі, які можна розв'язати паралельно
  4. DЗадачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Як працює extract-min у бінарній мін-купі?

  1. AВидаляють корінь і зсувають усі елементи на одну позицію ліворуч
  2. BОстанній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
  3. CШукають новий мінімум серед усіх листків
  4. DВидаляють останній елемент масиву
4.Структури данихСкладна

Чому в геш-таблиці з відкритою адресацією видалення часто виконують за допомогою позначки «надгробок» (tombstone)?

  1. AВидалені ключі треба зберігати назавжди з міркувань безпеки, тож комірки ніколи не можна використати повторно
  2. BНадгробки пришвидшують гешування
  3. CЗвільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
  4. DЦе робить таблицю відсортованою
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки маршрутів довжиною 2 ведуть від D до E? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Близько log₂ n

Чому це відповідь

Ділення навпіл від n до 1 потребує близько log₂ n рівнів, і кожен рівень виконує O(n) роботи злиття, що дає O(n log n).

Відповідь

B · Близько log₂ n
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час

Чому це відповідь

P містить задачі розпізнавання з детермінованим поліноміальним алгоритмом, як-от перевірка зв'язності графа.

Відповідь

D · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: B · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

Чому це відповідь

Останній елемент заповнює порожнє місце в корені й обмінюється з меншою дитиною, доки не виконується властивість купи, що займає O(log n).

Відповідь

B · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури даних

Відповідь: C · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів

Чому це відповідь

Якби видалена комірка стала порожньою, подальші пошуки могли б зупинитися зарано й пропустити ключі, розміщені далі в ланцюжку зондування.

Відповідь

C · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Непарні вершини

B, D → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Спільні сусіди

(M²)DE = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·1 + 1·0 + 0·1 = 1

Відповідь

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms