Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Як алгоритм Прима будує мінімальне кістякове дерево?

AВін запускає пошук у ширину й зберігає дерево BFS
BВін сортує всі ребра за вагою й додає кожне, окрім тих, що утворили б цикл у лісі
CВін вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
DВін видаляє найдорожче ребро, доки не залишиться циклів

2.Алгоритми та складністьСкладна

Задача про рюкзак 0/1, розв'язана динамічним програмуванням, потребує O(nW) часу. Чому це називають псевдополіноміальним часом?

AТому що він працює лише для W = 0
BТому що алгоритм рандомізований, а його час роботи змінюється для кожних вхідних даних
CТому що n завжди мале
DW — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W

3.Структури данихСередня

AVL-дерева та червоно-чорні дерева гарантують:

AПошук за сталий час у будь-якому випадку
BЗберігання ключів у порядку вставлення
CЩо жоден вузол не має двох дітей
DВисоту O(log n) завдяки перебалансуванню

4.Структури данихСкладна

Чим radix-дерево (стиснене префіксне дерево) краще за звичайне trie?

AВоно зберігає кожне слово в геш-таблиці в корені замість окремих вузлів
BВоно сортує дітей кожного вузла за частотою
CВоно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
DВоно зберігає лише першу літеру кожного слова

5.Теорія графівСередня

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 5

1Ейлерів цикл
2Ейлерів шлях, не цикл
3жодна з цих

6.Теорія графівСкладна

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини D. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 3.

початок: Dk = 3

1ребро AB
2ребро AC
3ребро BC
4ребро BD
5ребро DE
6ребро DF
7ребро EF
8ребро GB
9ребро GC

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева

Чому це відповідь

Алгоритм Прима з чергою з пріоритетами для ребер, що перетинають розріз, працює за O(E log V) із бінарною купою.

Відповідь

C · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева

2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · W — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W

Чому це відповідь

Час роботи поліноміальний відносно значення W, але експоненційний відносно його довжини (log W бітів); задача про рюкзак 0/1 є NP-повною.

Відповідь

D · W — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W

3.Структури даних

Відповідь: D · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

Чому це відповідь

Самобалансовані дерева зберігають логарифмічну висоту, тому пошук, вставлення та видалення в найгіршому випадку мають складність O(log n).

Відповідь

D · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

4.Структури даних

Відповідь: C · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком

Чому це відповідь

Стискання шляхів без розгалужень зменшує кількість вузлів і використану пам'ять, зберігаючи пошук за префіксом.

Відповідь

C · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком

5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

A, C → 2

Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро BC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. DE (4)

2. BD (8)

3. BC (7)

4. GC (6)

5. AC (11)

6. EF (12)

номер ребра 3

Відповідь

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms