Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Функція виконує один цикл із n ітерацій, а потім окремо ще один цикл із n ітерацій. Яка її часова складність?

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Множення Карацуби задовольняє T(n) = 3T(n/2) + O(n). Який розв'язок?

  1. AΘ(nlog₂ 3), близько n1,585
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(n log n)
3.Структури данихСередня

Який метод розв'язання колізій зберігає ключі, що конфліктують, у списку в тому самому кошику?

  1. AЛінійне зондування
  2. BПодвійне гешування
  3. CКвадратичне зондування
  4. DМетод ланцюжків (separate chaining)
4.Структури данихСкладна

Якого правила мають дотримуватися геш і рівність, щоб геш-таблиця працювала правильно?

  1. AРівні геш-значення означають рівні ключі
  2. BРізні ключі мусять мати різні геш-значення
  3. CРівні ключі мусять мати рівні геш-значення
  4. DГеш-значення мусять бути простими числами
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
1512457614126ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n)

Чому це відповідь

n + n = 2n, а сталі множники відкидаються, тож функція є O(n).

Відповідь

C · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Θ(nlog₂ 3), близько n1,585

Чому це відповідь

Оскільки log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, за основною теоремою домінують листки, що краще за шкільний метод O(n²).

Відповідь

A · Θ(nlog₂ 3), близько n1,585
3.Структури даних

Відповідь: D · Метод ланцюжків (separate chaining)

Чому це відповідь

Метод ланцюжків зберігає для кожного кошика зв'язний список (або іншу структуру); відкрита адресація шукає інше вільне місце в самій таблиці.

Відповідь

D · Метод ланцюжків (separate chaining)
4.Структури даних

Відповідь: C · Рівні ключі мусять мати рівні геш-значення

Чому це відповідь

Якби два рівні ключі мали різні геші, вони зберігалися б у різних кошиках і пошук не вдавався б; нерівні ключі можуть мати спільний геш.

Відповідь

C · Рівні ключі мусять мати рівні геш-значення
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 25

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 15, C: 12
C (12): E: 17, G: 24
B (15): D: 19
E (17): F: 31
D (19): F: 25
G (24)
F (25)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 25

Відповідь

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms