Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому багато бібліотечних процедур сортування переходять на сортування вставками для дуже малих підмасивів?

  1. AСортування вставками використовує менше пам'яті, ніж будь-який інший алгоритм сортування, на великих даних
  2. BСортування вставками має складність O(n log n) у найгіршому випадку
  3. CРекурсивні алгоритми не можуть обробляти масиви менші за 10 елементів
  4. DСортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як класифікують задачу комівояжера?

  1. AВерсія розпізнавання належить до P, а оптимізаційна — NP-повна
  2. BВона належить до P, бо її розв'язує алгоритм Дейкстри, відвідуючи кожне місто один раз
  3. CВона нерозв'язна
  4. DВерсія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною
3.Структури данихСередня

Чому бінарну купу можна зберігати в масиві без жодних вказівників?

  1. AУсі ключі в купі однакові
  2. BЦе повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів
  3. CКупи ніколи не містять понад 100 елементів
  4. DМасиви автоматично зберігають ключі відсортованими, тож вказівники не потрібні
4.Структури данихСкладна

Які операції підтримує дерево Фенвіка (binary indexed tree) над масивом із n чисел за O(log n)?

  1. AСортування масиву та бінарний пошук
  2. BЗапити префіксних сум і оновлення окремих елементів
  3. CЗнаходження медіани за O(1)
  4. DВставлення елементів у будь-яку позицію
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K5? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K5
H =
6.Теорія графівСкладна
10316141552134ABCDEF

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини D. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4.

початок: Dk = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро DF
  8. 8ребро EF
  9. 9ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних

Чому це відповідь

Для малих n простий цикл сортування вставками перевершує накладні витрати рекурсії швидкого сортування чи сортування злиттям, хоча воно й O(n²).

Відповідь

D · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Версія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною

Чому це відповідь

«Чи існує маршрут довжиною щонайбільше k?» — NP-повна задача; пошук найкоротшого маршруту — NP-складна, бо вона щонайменше така ж складна.

Відповідь

D · Версія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною
3.Структури даних

Відповідь: B · Це повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів

Чому це відповідь

Повнота означає відсутність прогалин, тож діти індексу i завжди розташовані в 2i + 1 і 2i + 2.

Відповідь

B · Це повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів
4.Структури даних

Відповідь: B · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів

Чому це відповідь

Дерево Фенвіка зберігає часткові суми на діапазонах, визначених молодшими бітами кожного індексу, тож і префіксні суми, і точкові оновлення займають O(log n).

Відповідь

B · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів
5.Теорія графів

Відповідь: H = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Відповідь

H = 12
6.Теорія графів

Відповідь: ребро AB

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. DF (2)
2. DE (5)
3. BE (4)
4. AB (10)
5. AC (3)

номер ребра 4

AB

Відповідь

ребро AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms