Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Ви один раз сортуєте масив із n елементів, а потім відповідаєте на k запитів про належність бінарним пошуком. Яка загальна вартість?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(k n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому будь-який пошук порівняннями у відсортованому масиві потребує Ω(log n) порівнянь у найгіршому випадку?

  1. AКожне порівняння триває логарифмічний час
  2. BКожен елемент треба порівняти щонайменше один раз
  3. CДерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n
  4. DБінарний пошук — єдиний можливий алгоритм, і йому потрібно log₂ n порівнянь
3.Структури данихСередня

Симетричний обхід (in-order) бінарного дерева пошуку відвідує ключі:

  1. AУ порядку вставлення
  2. BЗавжди в порядку спадання
  3. CУ порядку зростання (відсортовано)
  4. DПо рівнях
4.Структури данихСкладна

Що робить розширюване дерево (splay tree) після кожного звертання?

  1. AПеребудовує все дерево у збалансовану форму
  2. BПоворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
  3. CПереміщує вузол, до якого звернулися, у листок
  4. DПерефарбовує вузли на шляху пошуку
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 8 вершин і 19 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 8|E| = 19
k =
6.Теорія графівСкладна
13531412274ABCDEF

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4; пропущені ребра не враховуються.

k = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BD
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n log n + k log n)

Чому це відповідь

Сортування коштує O(n log n), а кожен запит — O(log n); за великого k це краще, ніж k лінійних переглядів (O(nk)).

Відповідь

A · O(n log n + k log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Дерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n

Чому це відповідь

Кожне порівняння щонайбільше вдвічі зменшує множину можливостей, що залишилися, тож для розрізнення n позицій потрібно щонайменше log₂ n порівнянь.

Відповідь

C · Дерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n
3.Структури даних

Відповідь: C · У порядку зростання (відсортовано)

Чому це відповідь

Відвідування лівого піддерева, потім вузла, потім правого піддерева виводить ключі BST у відсортованому порядку.

Відповідь

C · У порядку зростання (відсортовано)
4.Структури даних

Відповідь: B · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь

Чому це відповідь

Splay-операція переміщує вузол, до якого звернулися, у корінь за допомогою поворотів; одна операція може коштувати O(n), але амортизована вартість — O(log n).

Відповідь

B · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
5.Теорія графів

Відповідь: k = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

8 − 1 = 7

Ребра для вилучення

k = 19 − 7 = 12

Відповідь

k = 12
6.Теорія графів

Відповідь: ребро AC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. DF (2)
2. BD (3)
3. BE (4)
4. AC (5)
5. AB (13)

номер ребра 4

AC

Відповідь

ребро AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms