Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Приблизно скільки порівнянь потребує бінарний пошук у найгіршому випадку на відсортованому масиві з 1,000,000 елементів?

  1. AБлизько 500,000
  2. BБлизько 1,000
  3. CБлизько 100
  4. DБлизько 20
2.Алгоритми та складністьСкладна

Для якого варіанта задачі про рюкзак жадібне правило «брати предмети в порядку цінності на одиницю ваги» завжди дає оптимальну відповідь?

  1. AДля обох варіантів
  2. BДля жодного варіанта
  3. CДля рюкзака 0/1, де предмети завжди потрібно брати цілими
  4. DДля неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури данихСередня

Скільки вузлів має ідеальне бінарне дерево висоти h, якщо висоту рахують у ребрах?

  1. A2h
  2. Bh2
  3. C2h + 1
  4. D2h+1 − 1
4.Структури данихСкладна

Чому зі стандартного фільтра Блума не можна просто видаляти елементи, очищаючи їхні біти?

  1. AФільтри Блума зберігають повні елементи, і після гешування їх неможливо знайти знову
  2. BВидалення підвищило б частку хибнопозитивних результатів до 100%
  3. CБіти у фільтрі Блума не можна змінювати після створення
  4. DЦі біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
51047734103ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(D) найкоротшого шляху від A до D у зваженому графі.

початок: Aкінець: D
d(D) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Близько 20

Чому це відповідь

220 ≈ 1,048,576, тож приблизно після 20 ділень навпіл залишається лише один елемент.

Відповідь

D · Близько 20
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити

Чому це відповідь

Коли предмети можна ділити, оптимально брати спершу з найкращим відношенням; у рюкзаку 0/1 предмет із високим відношенням може заблокувати кращу комбінацію, тож потрібне динамічне програмування.

Відповідь

D · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури даних

Відповідь: D · 2h+1 − 1

Чому це відповідь

Сума 1 + 2 + 4 + ... + 2h дає 2h+1 − 1; наприклад, висота 2 дає 7 вузлів.

Відповідь

D · 2h+1 − 1
4.Структури даних

Відповідь: D · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати

Чому це відповідь

Очищення спільного біта зробило б інший елемент нібито відсутнім; лічильні фільтри Блума замість бітів зберігають лічильники, щоб дозволити видалення.

Відповідь

D · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Непарні вершини

A, G → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: d(D) = 11

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 5, C: 10
B (5): C: 9, D: 12, E: 8
E (8): D: 11, F: 18
C (9)
D (11): F: 15
F (15)

Найкоротший шлях

A → B → E → D
d(D) = 11

Відповідь

d(D) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms