Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що обчислює алгоритм Флойда–Воршелла і як швидко?

  1. AМінімальне кістякове дерево за O(E log V)
  2. BНайкоротші шляхи від однієї початкової вершини до всіх інших за O(V + E)
  3. CНайкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
  4. DТопологічний порядок за O(V²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке визначення класу P правильне?

  1. AЗадачі, що потребують експоненційного часу на будь-якому комп'ютері
  2. BЗадачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
  3. CЗадачі, які можна розв'язати паралельно
  4. DЗадачі, розв'язки яких можна перевірити, але ніколи не можна знайти за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Як вставляють новий елемент у бінарну купу?

  1. AРозміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи
  2. BПеребудовують усю купу з нуля
  3. CВставляють його на відсортовану позицію, зсуваючи всі більші елементи на одне місце праворуч
  4. DРозміщують його в корені й просіюють униз
4.Структури данихСкладна

Який час роботи пошуку в ширину (BFS) у графі з V вершинами, що зберігається як матриця суміжності?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V²)
  3. CO(V)
  4. DO(V + E)
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 5, 2 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
151321214129112ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)

Чому це відповідь

Флойд–Воршелл — алгоритм динамічного програмування, що по черзі дозволяє кожну вершину як проміжну, витрачаючи O(V³) часу.

Відповідь

C · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час

Чому це відповідь

P містить задачі розпізнавання з детермінованим поліноміальним алгоритмом, як-от перевірка зв'язності графа.

Відповідь

B · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: A · Розміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи

Чому це відповідь

Додавання в кінець зберігає повноту дерева; обміни з батьком відновлюють порядок за O(log n) кроків.

Відповідь

A · Розміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи
4.Структури даних

Відповідь: B · O(V²)

Чому це відповідь

Кожна з V вершин переглядає рядок із V елементів, що дає O(V²); зі списками суміжності BFS має складність O(V + E).

Відповідь

B · O(V²)
5.Теорія графів

Відповідь: L = 19

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 37 = 2(L + 10) − 2
L = 19

Відповідь

L = 19

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 28

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 15, C: 13
C (13): E: 27
B (15): D: 27
D (27): F: 36
E (27): F: 28
F (28)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 28

Відповідь

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms