Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка амортизована часова складність додавання елемента в кінець динамічного масиву, який подвоює свою місткість у разі заповнення?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що треба зробити, щоб показати, що нова задача X є NP-складною?

  1. AПоказати, що X не має поліноміального алгоритму для малих вхідних даних
  2. BЗвести X до відомої NP-складної задачі за поліноміальний час
  3. CПоказати, що X можна перевірити за поліноміальний час
  4. DЗвести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Яка висота бінарного дерева пошуку з n вузлами в найгіршому випадку, якщо ключі вставляються у відсортованому порядку?

  1. An (дерево перетворюється на зв'язний список)
  2. B1
  3. C√n
  4. Dlog₂ n
4.Структури данихСкладна

Яка вартість однієї операції find у найгіршому випадку в структурі union-find з n елементами без об'єднання за рангом і стиснення шляхів?

  1. AO(α(n))
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 19 вершин і 21 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 19|E| = 21
k =
6.Теорія графівСкладна
151816412111014120ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(1)

Чому це відповідь

Копіювання всіх елементів відбувається лише на степенях двійки; якщо розподілити ці витрати на всі додавання, середня вартість одного додавання стала.

Відповідь

A · O(1)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час

Чому це відповідь

Якщо відому складну задачу можна ефективно перетворити на X, то швидкий алгоритм для X розв'язав би й відому задачу.

Відповідь

D · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: A · n (дерево перетворюється на зв'язний список)

Чому це відповідь

Вставлення відсортованих ключів створює вироджене дерево висотою n, тому пошук стає O(n). Збалансовані дерева цьому запобігають.

Відповідь

A · n (дерево перетворюється на зв'язний список)
4.Структури даних

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Наївні об'єднання можуть зв'язати дерева в довгий ланцюжок, тож find може пройти n − 1 вказівників на батька; дві евристики роблять вартість майже сталою.

Відповідь

D · O(n)
5.Теорія графів

Відповідь: k = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

19 − 1 = 18

Ребра для вилучення

k = 21 − 18 = 3

Відповідь

k = 3
6.Теорія графів

Відповідь: W = 53

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

GD (1): взяти
CE (4): взяти
GB (10): взяти
EF (11): взяти
DE (12): взяти
GC (14): пропустити, замикає цикл
AB (15): взяти

Загальна вага

W = 1 + 4 + 10 + 11 + 12 + 15 = 53

Відповідь

W = 53

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms