Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Скільки рівнів має рекурсія сортування злиттям для масиву з n елементів?

  1. AБлизько √n
  2. BБлизько n
  3. CБлизько log₂ n
  4. DБлизько n / 2
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що встановила теорема Кука–Левіна?

  1. AP не дорівнює NP
  2. BПроблема зупинки нерозв'язна
  3. CЗадача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
  4. DКожну задачу з NP можна розв'язати за експоненційний час
3.Структури данихСередня

Скільки триває пошук слова довжиною L у префіксному дереві (trie) з фіксованим алфавітом?

  1. AO(L × n)
  2. BO(log n), де n — кількість слів
  3. CO(L), незалежно від кількості збережених слів
  4. DO(n), де n — кількість слів
4.Структури данихСкладна

Дерево відрізків (segment tree) зазвичай використовують для:

  1. AРеалізації стека
  2. BЗберігання ребер графа
  3. CВідповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
  4. DСортування рядків за абеткою шляхом зберігання кожного префікса в окремому вузлі дерева
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
1311287258ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Близько log₂ n

Чому це відповідь

Ділення навпіл від n до 1 потребує близько log₂ n рівнів, і кожен рівень виконує O(n) роботи злиття, що дає O(n log n).

Відповідь

C · Близько log₂ n
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною

Чому це відповідь

Кук і Левін незалежно показали, що кожна задача з NP зводиться до SAT за поліноміальний час, тож SAT стала першою відомою NP-повною задачею.

Відповідь

C · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
3.Структури даних

Відповідь: C · O(L), незалежно від кількості збережених слів

Чому це відповідь

Кожен символ обирає одну дитину, тож пошук займає L кроків незалежно від того, скільки слів містить trie.

Відповідь

C · O(L), незалежно від кількості збережених слів
4.Структури даних

Відповідь: C · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)

Чому це відповідь

Дерево відрізків зберігає агрегати для проміжків, підтримуючи запити на діапазонах і точкові оновлення за час O(log n).

Відповідь

C · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Непарні вершини

B, C, D, E → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 14

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 13, C: 1
C (1): E: 9
E (9): D: 16, F: 14
B (13)
F (14)
D (16)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 14

Відповідь

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms