Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Пошук у ширину в незваженому графі знаходить:

  1. AТопологічний порядок у будь-якому графі
  2. BМінімальне кістякове дерево
  3. CНайкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
  4. DНайкоротші шляхи в графах, що містять ребра з від'ємними вагами
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як співвідносяться n! і 2ⁿ для великих n?

  1. An! є O(n²)
  2. Bn! зростає швидше, ніж 2ⁿ
  3. C2ⁿ зростає швидше, ніж n!
  4. DВони зростають з однаковою швидкістю
3.Структури данихСередня

Як знайти мінімальний ключ у бінарному дереві пошуку?

  1. AПодивитися лише на корінь
  2. BІти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
  3. CІти від кореня правими дітьми, доки правої дитини не буде
  4. DВідвідати кожен листок і порівняти їх
4.Структури данихСкладна

Яка основна перевага списку з пропусками (skip list) над відсортованим зв'язним списком?

  1. AВін не використовує додаткової пам'яті
  2. BГарантований пошук за O(1), бо кожен вузол зберігає вказівник на кожен інший вузол
  3. CОчікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед
  4. DВін зберігає ключі без упорядкування
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
839101251014ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 3; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини

Чому це відповідь

BFS відвідує вершини в порядку відстані (у ребрах) від джерела, тому знаходить найкоротші шляхи в незваженому графі за O(V + E).

Відповідь

C · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · n! зростає швидше, ніж 2ⁿ

Чому це відповідь

Для n ≥ 4 n! перевищує 2ⁿ, і відношення зростає необмежено, бо кожен додатковий множник n! більший за 2.

Відповідь

B · n! зростає швидше, ніж 2ⁿ
3.Структури даних

Відповідь: B · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол не має меншого ключа в дереві, тож він і є мінімумом; вартість пропорційна висоті.

Відповідь

B · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
4.Структури даних

Відповідь: C · Очікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед

Чому це відповідь

Випадкові рівні дозволяють пошуку пропускати багато вузлів, що дає очікувану складність O(log n) для пошуку, вставлення та видалення.

Відповідь

C · Очікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: B

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 8, C: 3
2. C (3): E: 13
3. B (8)
4. E (13): D: 25, F: 23
5. F (23)
6. D (25)

раунд 3

B

Відповідь

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms