Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Жадібний алгоритм:

  1. AЗавжди дає оптимальний розв'язок
  2. BВикористовує лише рекурсію
  3. CПеребирає всі можливі розв'язки
  4. DНа кожному кроці робить локально найкращий вибір
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який прийом забезпечує очікуваний час роботи O(n log n) для швидкого сортування на будь-яких вхідних даних?

  1. AВибір завжди першого елемента
  2. BЗастосування рекурсії лише до лівої частини
  3. CВибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
  4. DСортування вхідних даних перед запуском швидкого сортування
3.Структури данихСередня

Яке значення постфіксного виразу 3 4 + 2 * ?

  1. A11
  2. B24
  3. C10
  4. D14
4.Структури данихСкладна

Яка властивість підтримує кожне B-дерево ідеально збалансованим?

  1. AКожен вузол зберігає один ключ
  2. BУсі листки розташовані на однаковій глибині
  3. CКлючі зберігаються лише в корені
  4. DКожен вузол має рівно двох дітей
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
614514913151012ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · На кожному кроці робить локально найкращий вибір

Чому це відповідь

Жадібні алгоритми швидкі й для деяких задач оптимальні (наприклад, алгоритм Дейкстри, кодування Гаффмана), але не загалом (наприклад, задача про видачу решти для деяких систем монет).

Відповідь

D · На кожному кроці робить локально найкращий вибір
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом

Чому це відповідь

З випадковим опорним елементом очікуваний час роботи становить O(n log n) для будь-яких вхідних даних; погані випадки все ще можливі, але дуже малоймовірні.

Відповідь

C · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
3.Структури даних

Відповідь: D · 14

Чому це відповідь

Заносимо 3 і 4, + дає 7; заносимо 2, * дає 7 × 2 = 14.

Відповідь

D · 14
4.Структури даних

Відповідь: B · Усі листки розташовані на однаковій глибині

Чому це відповідь

Заповнені вузли розщеплюються вгору, а дерево стає вищим лише тоді, коли розщеплюється корінь, тож усі листки завжди залишаються на одному рівні.

Відповідь

B · Усі листки розташовані на однаковій глибині
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Непарні вершини

A, E → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 33

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 6, C: 14
B (6): C: 11, D: 20, G: 21
C (11): E: 20
D (20)
E (20): F: 33
G (21)
F (33)

Найкоротший шлях

A → B → C → E → F
d(F) = 33

Відповідь

d(F) = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms