Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Жадібний алгоритм:

  1. AНа кожному кроці робить локально найкращий вибір
  2. BПеребирає всі можливі розв'язки
  3. CЗавжди дає оптимальний розв'язок
  4. DВикористовує лише рекурсію
2.Алгоритми та складністьСкладна

Топологічне сортування можливе лише для:

  1. AОрієнтованих ациклічних графів
  2. BГрафів із від'ємними вагами
  3. CПовних графів
  4. DНеорієнтованих графів
3.Структури данихСередня

Бінарне дерево має корінь 1 з лівою дитиною 2 і правою дитиною 3; вузол 2 має дітей 4 (ліва) і 5 (права). Який зворотний обхід (postorder)?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 4 5 3
  4. D5 4 3 2 1
4.Структури данихСкладна

Для чого використовують структуру union-find в алгоритмі Краскала для мінімального кістякового дерева?

  1. AЩоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
  2. BЩоб зберігати поточну відстань кожної вершини від джерела під час пошуку
  3. CЩоб відсортувати ребра за вагою
  4. DЩоб обрати початкову вершину
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, 2 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
311211331219ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · На кожному кроці робить локально найкращий вибір

Чому це відповідь

Жадібні алгоритми швидкі й для деяких задач оптимальні (наприклад, алгоритм Дейкстри, кодування Гаффмана), але не загалом (наприклад, задача про видачу решти для деяких систем монет).

Відповідь

A · На кожному кроці робить локально найкращий вибір
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Орієнтованих ациклічних графів

Чому це відповідь

Топологічний порядок існує тоді й лише тоді, коли орієнтований граф не має циклів; його можна знайти за O(V + E) за допомогою DFS або алгоритму Кана.

Відповідь

A · Орієнтованих ациклічних графів
3.Структури даних

Відповідь: A · 4 5 2 3 1

Чому це відповідь

Зворотний обхід обробляє 4 і 5 перед 2, потім 3 і нарешті корінь 1.

Відповідь

A · 4 5 2 3 1
4.Структури даних

Відповідь: A · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра

Чому це відповідь

Find показує, чи обидва кінці в одній компоненті; якщо ні, ребро додається, а union об'єднує компоненти.

Відповідь

A · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
5.Теорія графів

Відповідь: L = 26

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 52 = 2(L + 14) − 2
L = 26

Відповідь

L = 26

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 18

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 3, C: 11
B (3): C: 5
C (5): E: 6
E (6): D: 19, F: 18, G: 15
G (15): D: 16
D (16)
F (18)

Найкоротший шлях

A → B → C → E → F
d(F) = 18

Відповідь

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms