Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Пошук у ширину в незваженому графі знаходить:

  1. AМінімальне кістякове дерево
  2. BНайкоротші шляхи в графах, що містять ребра з від'ємними вагами
  3. CНайкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
  4. DТопологічний порядок у будь-якому графі
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка з цих задач виконуваності, як відомо, розв'язна за поліноміальний час?

  1. A2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
  2. B3-SAT, де кожен диз'юнкт має рівно три літерали
  3. CВиконуваність схем
  4. DЗагальна SAT для формул у кон'юнктивній нормальній формі
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовує виконувана програма, щоб відстежувати активні виклики функцій та їхні локальні змінні?

  1. AЧергу пам'яті купи
  2. BГеш-таблицю функцій
  3. CБінарне дерево пошуку фреймів
  4. DСтек викликів
4.Структури данихСкладна

Яке твердження про пірамідальне сортування (heapsort) правильне?

  1. AВоно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним
  2. BВоно стабільне й потребує O(n) додаткової пам'яті
  3. CВоно потребує бінарного дерева пошуку як додаткового сховища, тож використовує O(n) додаткової пам'яті
  4. DВоно працює за час O(n) на будь-яких вхідних даних
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 32 × deg 44 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
4591321179136ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини

Чому це відповідь

BFS відвідує вершини в порядку відстані (у ребрах) від джерела, тому знаходить найкоротші шляхи в незваженому графі за O(V + E).

Відповідь

C · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали

Чому це відповідь

2-SAT належить до P (лінійний час через компоненти сильної зв'язності), тоді як 3-SAT є NP-повною.

Відповідь

A · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
3.Структури даних

Відповідь: D · Стек викликів

Чому це відповідь

Кожен виклик заносить у стек фрейм, а кожне повернення виймає його, тому найновіший виклик завершується першим.

Відповідь

D · Стек викликів
4.Структури даних

Відповідь: A · Воно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним

Чому це відповідь

Heapsort будує макс-купу й n разів видобуває максимум у тому самому масиві; обміни на великі відстані можуть змінювати порядок однакових ключів.

Відповідь

A · Воно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним
5.Теорія графів

Відповідь: L = 21

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 37 = 2(L + 9) − 2
L = 21

Відповідь

L = 21

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: E

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 4, C: 5
2. B (4): D: 17, G: 13
3. C (5): E: 7
4. E (7): F: 14
5. G (13)
6. F (14)
7. D (17)

раунд 4

E

Відповідь

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms