Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка оцінка для log(n!) правильна?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(log n)
3.Структури данихСередня

Бінарне дерево має корінь 1 з лівою дитиною 2 і правою дитиною 3; вузол 2 має дітей 4 (ліва) і 5 (права). Який прямий обхід (preorder)?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Структури данихСкладна

Яка властивість підтримує кожне B-дерево ідеально збалансованим?

  1. AКожен вузол має рівно двох дітей
  2. BУсі листки розташовані на однаковій глибині
  3. CКлючі зберігаються лише в корені
  4. DКожен вузол зберігає один ключ
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 12 вершин і 20 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 12|E| = 20
k =
6.Теорія графівСкладна
79110181419158202ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n²)

Чому це відповідь

Сумарна робота становить близько n² / 2; це рекурентне співвідношення сортування вибором або швидкого сортування з найгіршим опорним елементом.

Відповідь

C · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Θ(n log n)

Чому це відповідь

log(n!) ≤ n log n, а n / 2 найбільших множників дають log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); саме тому сортування порівняннями потребує Ω(n log n).

Відповідь

A · Θ(n log n)
3.Структури даних

Відповідь: C · 1 2 4 5 3

Чому це відповідь

Прямий обхід відвідує 1, потім його ліве піддерево (2, 4, 5), потім 3; інші варіанти — симетричний, зворотний обхід і обхід по рівнях.

Відповідь

C · 1 2 4 5 3
4.Структури даних

Відповідь: B · Усі листки розташовані на однаковій глибині

Чому це відповідь

Заповнені вузли розщеплюються вгору, а дерево стає вищим лише тоді, коли розщеплюється корінь, тож усі листки завжди залишаються на одному рівні.

Відповідь

B · Усі листки розташовані на однаковій глибині
5.Теорія графів

Відповідь: k = 9

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

12 − 1 = 11

Ребра для вилучення

k = 20 − 11 = 9

Відповідь

k = 9
6.Теорія графів

Відповідь: W = 43

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

BC (1): взяти
GE (2): взяти
AB (7): взяти
GB (8): взяти
AC (9): пропустити, замикає цикл
BD (10): взяти
DE (14): пропустити, замикає цикл
EF (15): взяти

Загальна вага

W = 1 + 2 + 7 + 8 + 10 + 15 = 43

Відповідь

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms