Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який алгоритм сортування є стійким?

  1. AШвидке сортування (типова версія на місці)
  2. BСортування злиттям
  3. CПірамідальне сортування
  4. DСортування вибором (типова версія)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Для якого варіанта задачі про рюкзак жадібне правило «брати предмети в порядку цінності на одиницю ваги» завжди дає оптимальну відповідь?

  1. AДля жодного варіанта
  2. BДля обох варіантів
  3. CДля рюкзака 0/1, де предмети завжди потрібно брати цілими
  4. DДля неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури данихСередня

Ключі 50, 30, 70, 20, 40 вставляють у такому порядку в порожнє бінарне дерево пошуку. Яка ліва дитина вузла 30?

  1. A70
  2. B50
  3. C40
  4. D20
4.Структури данихСкладна

Скільки триває пошук довільного ключа в бінарній мін-купі з n елементів?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log log n)
  4. DO(log n)
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, 2 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
1110811210198ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Сортування злиттям

Чому це відповідь

Сортування злиттям стійке, якщо за рівних ключів під час злиття спочатку береться елемент із лівої половини. Швидке сортування на місці, пірамідальне сортування й сортування вибором зазвичай не є стійкими.

Відповідь

B · Сортування злиттям
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити

Чому це відповідь

Коли предмети можна ділити, оптимально брати спершу з найкращим відношенням; у рюкзаку 0/1 предмет із високим відношенням може заблокувати кращу комбінацію, тож потрібне динамічне програмування.

Відповідь

D · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури даних

Відповідь: D · 20

Чому це відповідь

20 менше за 50 і менше за 30, тож стає лівою дитиною вузла 30; 40 стає його правою дитиною.

Відповідь

D · 20
4.Структури даних

Відповідь: B · O(n)

Чому це відповідь

Купа не дає правила, яке піддерево містить ключ, тож у найгіршому випадку треба перевірити всі вузли; швидко знаходиться лише мінімум.

Відповідь

B · O(n)
5.Теорія графів

Відповідь: L = 22

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 40 = 2(L + 10) − 2
L = 22

Відповідь

L = 22

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 31

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 11, C: 10
C (10): G: 11
B (11): D: 19
G (11): E: 19
D (19)
E (19): F: 31
F (31)

Найкоротший шлях

A → C → G → E → F
d(F) = 31

Відповідь

d(F) = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms