Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Нижня межа для сортування на основі порівнянь у найгіршому випадку становить:

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про позначення «мале o» правильне?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n²), але n не є o(n)
  3. Cn = o(n), бо кожна функція є «мале o» від самої себе
  4. D2n = o(n), бо 2n зростає повільно
3.Структури данихСередня

Як знайти мінімальний ключ у бінарному дереві пошуку?

  1. AІти від кореня правими дітьми, доки правої дитини не буде
  2. BІти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
  3. CПодивитися лише на корінь
  4. DВідвідати кожен листок і порівняти їх
4.Структури данихСкладна

Як визначити, чи містить однозв'язний список цикл, використовуючи O(1) додаткової пам'яті?

  1. AРахувати вузли, доки кількість не перевищить поле довжини списку
  2. BЗберігати кожен відвіданий вузол у геш-множині
  3. CВідсортувати список і шукати дублікати
  4. DРухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
6241111361412ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Ω(n log n)

Чому це відповідь

Будь-якому сортуванню порівняннями в найгіршому випадку потрібно щонайменше log₂(n!) ≈ n log n порівнянь. Сортування підрахунком (counting sort) обходить цю межу, бо не порівнює елементи.

Відповідь

A · Ω(n log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · n = o(n²), але n не є o(n)

Чому це відповідь

f = o(g) означає, що f(n) / g(n) прямує до 0; n / n² прямує до 0, а n / n = 1 — ні.

Відповідь

B · n = o(n²), але n не є o(n)
3.Структури даних

Відповідь: B · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол не має меншого ключа в дереві, тож він і є мінімумом; вартість пропорційна висоті.

Відповідь

B · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
4.Структури даних

Відповідь: D · Рухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться

Чому це відповідь

В алгоритмі Флойда за наявності циклу швидкий вказівник зрештою наздоганяє повільний; інакше швидкий вказівник досягає null.

Відповідь

D · Рухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 13

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 6, C: 2
C (2): E: 13
B (6): D: 10
D (10): F: 13, G: 24
E (13)
F (13)
G (24)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 13

Відповідь

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms