Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AТак, але лише якщо n менше за 100
  2. BНі, бо для великих n n³ менше за n²
  3. CТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
  4. DНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
2.Алгоритми та складністьСкладна

Задача про рюкзак 0/1, розв'язана динамічним програмуванням, потребує O(nW) часу. Чому це називають псевдополіноміальним часом?

  1. AW — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W
  2. BТому що алгоритм рандомізований, а його час роботи змінюється для кожних вхідних даних
  3. CТому що n завжди мале
  4. DТому що він працює лише для W = 0
3.Структури данихСередня

Префіксне дерево (trie) особливо ефективне для:

  1. AСортування чисел
  2. BЗберігання матриць
  3. CПошуку найкоротших шляхів
  4. DПошуку за префіксом, наприклад автодоповнення
4.Структури данихСкладна

Динамічний масив подвоюється, коли заповнюється. Чому багато реалізацій зменшують його лише тоді, коли він заповнений на чверть, а не наполовину?

  1. AЩоб масив залишався відсортованим
  2. BБо розподілювач пам'яті може звільняти пам'ять лише чвертями блока
  3. CБо зменшення вдвічі за половинного заповнення призвело б до втрати елементів
  4. DЩоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 9 вершин і 19 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 9|E| = 19
k =
6.Теорія графівСкладна
1214138655ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

C · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · W — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W

Чому це відповідь

Час роботи поліноміальний відносно значення W, але експоненційний відносно його довжини (log W бітів); задача про рюкзак 0/1 є NP-повною.

Відповідь

A · W — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W
3.Структури даних

Відповідь: D · Пошуку за префіксом, наприклад автодоповнення

Чому це відповідь

Trie зберігає рядки посимвольно вздовж шляхів, тому пошук і запити за префіксом займають час, пропорційний довжині ключа.

Відповідь

D · Пошуку за префіксом, наприклад автодоповнення
4.Структури даних

Відповідь: D · Щоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі

Чому це відповідь

Зменшення при половинному заповненні могло б запускати зміну розміру на кожній операції такої послідовності; проміжок між 1/4 і повним заповненням зберігає амортизовану вартість O(1).

Відповідь

D · Щоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі
5.Теорія графів

Відповідь: k = 11

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

9 − 1 = 8

Ребра для вилучення

k = 19 − 8 = 11

Відповідь

k = 11
6.Теорія графів

Відповідь: E

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 12, C: 1
2. C (1): B: 5
3. B (5): D: 18, E: 10
4. E (10): F: 15
5. F (15)
6. D (18)

раунд 4

E

Відповідь

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms