Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яке твердження про рекурсивну функцію без досяжного базового випадку правильне?

  1. AВона виконується за час O(1)
  2. BВона автоматично повертає 0
  3. CКомпілятор завжди перетворює її на цикл, що безпечно завершується
  4. DВона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як алгоритм Беллмана–Форда виявляє цикл від'ємної ваги, досяжний із джерела?

  1. AПісля V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро
  2. BВін двічі запускає алгоритм Дейкстри й порівнює два результати відстаней
  3. CВін підраховує цикли пошуком у глибину
  4. DВін перевіряє, чи має якесь ребро від'ємну вагу
3.Структури данихСередня

Як працює extract-min у бінарній мін-купі?

  1. AОстанній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
  2. BВидаляють останній елемент масиву
  3. CВидаляють корінь і зсувають усі елементи на одну позицію ліворуч
  4. DШукають новий мінімум серед усіх листків
4.Структури данихСкладна

Видалення вузла з двома дітьми з бінарного дерева пошуку зазвичай виконують так:

  1. AВидаляють усе піддерево
  2. BЗамінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
  3. CМіняють його місцями з коренем
  4. DПеребудовують піддерево під ним з нуля й повторно вставляють усі ключі, які воно містило
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 5, 4 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
131313129121513ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів

Чому це відповідь

Без базового випадку рекурсія ніколи не зупиняється; на практиці пам'ять для кадрів стека вичерпується, і програма аварійно завершується.

Відповідь

D · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Після V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро

Чому це відповідь

Усі справжні найкоротші відстані знаходяться за V − 1 раундів; якщо якесь ребро ще можна поліпшити, від'ємний цикл має існувати.

Відповідь

A · Після V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро
3.Структури даних

Відповідь: A · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

Чому це відповідь

Останній елемент заповнює порожнє місце в корені й обмінюється з меншою дитиною, доки не виконується властивість купи, що займає O(log n).

Відповідь

A · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури даних

Відповідь: B · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол

Чому це відповідь

In-order наступник має щонайбільше одну дитину, тому його легко видалити після копіювання його ключа у вузол, що видаляється.

Відповідь

B · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
5.Теорія графів

Відповідь: L = 17

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17

Відповідь

L = 17

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 28

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 13, C: 13
B (13): D: 16
C (13): E: 25, G: 28
D (16): F: 28
E (25)
F (28)
G (28)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 28

Відповідь

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms