Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка амортизована вартість інкременту двійкового лічильника, якщо один інкремент може змінити багато бітів?

  1. AO(n log n) на інкремент
  2. BO(n) на інкремент
  3. CO(1) на інкремент
  4. DO(log n) на інкремент
3.Структури данихСередня

Який абстрактний тип даних використовує алгоритм Дейкстри, щоб обрати наступну вершину для обробки?

  1. AСтек
  2. BМножину без упорядкування
  3. CМін-чергу з пріоритетом
  4. DЧергу FIFO
4.Структури данихСкладна

Як визначити, чи містить однозв'язний список цикл, використовуючи O(1) додаткової пам'яті?

  1. AРахувати вузли, доки кількість не перевищить поле довжини списку
  2. BВідсортувати список і шукати дублікати
  3. CРухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться
  4. DЗберігати кожен відвіданий вузол у геш-множині
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
51011387126ABCDEF

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(log n)

Чому це відповідь

Задача на кожному кроці зменшується вдвічі зі сталою роботою на крок, тож кроків приблизно log₂ n.

Відповідь

B · O(log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(1) на інкремент

Чому це відповідь

За n інкрементів біт i змінюється близько n / 2ⁱ разів, тож загалом менше ніж 2n змін — у середньому O(1) на кожен.

Відповідь

C · O(1) на інкремент
3.Структури даних

Відповідь: C · Мін-чергу з пріоритетом

Чому це відповідь

Мін-черга з пріоритетом, зазвичай бінарна купа, ефективно повертає невідвідану вершину з найменшою відстанню.

Відповідь

C · Мін-чергу з пріоритетом
4.Структури даних

Відповідь: C · Рухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться

Чому це відповідь

В алгоритмі Флойда за наявності циклу швидкий вказівник зрештою наздоганяє повільний; інакше швидкий вказівник досягає null.

Відповідь

C · Рухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Непарні вершини

A, B, D, F → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: W = 34

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

BD (3): взяти
AB (5): взяти
BE (6): взяти
DE (7): пропустити, замикає цикл
CE (8): взяти
AC (10): пропустити, замикає цикл
BC (11): пропустити, замикає цикл
DF (12): взяти

Загальна вага

W = 3 + 5 + 6 + 8 + 12 = 34

Відповідь

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms