Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність множення двох матриць n × n стандартним потрійним циклом?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n³)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Сортування вставками працює за O(n) на відсортованих даних. Чи суперечить це нижній межі Ω(n log n) для сортування порівняннями?

  1. AТак, але лише для масивів, коротших за 100
  2. BНі, бо сортування вставками не є сортуванням порівняннями
  3. CТак, отже, нижня межа хибна
  4. DНі, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних
3.Структури данихСередня

Геш-таблиця розміру 7 використовує h(k) = k mod 7 і лінійне зондування. Після вставлення 10 де буде збережено 17?

  1. AВ індексі 0
  2. BВ індексі 4
  3. CВ індексі 6
  4. DВ індексі 3
4.Структури данихСкладна

Яку гарантію щодо висоти дерева з n ключами дають правила червоно-чорного дерева?

  1. AВисота щонайбільше log2 n + 1
  2. BВисота щонайбільше n / 2
  3. CВисота рівно log2 n
  4. DВисота щонайбільше 2 log2(n + 1)
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 15 вершин і 15 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 15|E| = 15
k =
6.Теорія графівСкладна
1971161041513ABCDEF

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n³)

Чому це відповідь

Є n² елементів, і кожному потрібно n множень, що дає n³ операцій.

Відповідь

D · O(n³)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Ні, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних

Чому це відповідь

Межа стверджує, що кожне сортування порівняннями потребує близько n log n порівнянь на якихось вхідних даних розміру n; особливі вхідні дані можуть оброблятися значно швидше.

Відповідь

D · Ні, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних
3.Структури даних

Відповідь: B · В індексі 4

Чому це відповідь

10 mod 7 = 3 і 17 mod 7 = 3; індекс 3 зайнятий, тож лінійне зондування пробує наступну комірку — індекс 4.

Відповідь

B · В індексі 4
4.Структури даних

Відповідь: D · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)

Чому це відповідь

Кожен шлях має однакову кількість чорних вузлів, а червоні вузли не можуть бути сусідніми, тож найдовший шлях щонайбільше вдвічі довший за найкоротший, що дає висоту O(log n).

Відповідь

D · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)
5.Теорія графів

Відповідь: k = 1

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

15 − 1 = 14

Ребра для вилучення

k = 15 − 14 = 1

Відповідь

k = 1
6.Теорія графів

Відповідь: W = 42

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

DE (4): взяти
BD (6): взяти
AC (7): взяти
CE (10): взяти
BC (11): пропустити, замикає цикл
BE (13): пропустити, замикає цикл
EF (15): взяти

Загальна вага

W = 4 + 6 + 7 + 10 + 15 = 42

Відповідь

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms