Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AНі, бо для великих n n³ менше за n²
  2. BНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
  3. CТак, але лише якщо n менше за 100
  4. DТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складністьСкладна

Узявши обидва кінці кожного ребра максимального (за включенням) паросполучення, отримують вершинне покриття. Наскільки воно добре?

  1. AНевідомої якості порівняно з оптимумом
  2. BЗавжди мінімальне вершинне покриття
  3. CЩонайбільше в log n разів більше за мінімум
  4. DЩонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
3.Структури данихСередня

Ключі 50, 30, 70, 20, 40 вставляють у такому порядку в порожнє бінарне дерево пошуку. Яка ліва дитина вузла 30?

  1. A40
  2. B50
  3. C20
  4. D70
4.Структури данихСкладна

Яка структура дає змогу обчислити максимум кожного вікна розміру k у масиві за загальний час O(n)?

  1. AОднозв'язний список елементів вікна
  2. BВідсортований масив, що оновлюється зсувом
  3. CМін-купа, перебудована для кожного вікна
  4. DДек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 19 вершин і 19 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 19|E| = 19
k =
6.Теорія графівСкладна
12157324131412ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

D · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття

Чому це відповідь

Ребра паросполучення не мають спільних вершин, тож оптимуму потрібна щонайменше одна вершина на ребро, а цей метод бере дві: це 2-наближення.

Відповідь

D · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
3.Структури даних

Відповідь: C · 20

Чому це відповідь

20 менше за 50 і менше за 30, тож стає лівою дитиною вузла 30; 40 стає його правою дитиною.

Відповідь

C · 20
4.Структури даних

Відповідь: D · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень

Чому це відповідь

Початок дека завжди є максимумом вікна; кожен індекс входить у дек і виходить із нього один раз, тож обсяг роботи лінійний.

Відповідь

D · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
5.Теорія графів

Відповідь: k = 1

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

19 − 1 = 18

Ребра для вилучення

k = 19 − 18 = 1

Відповідь

k = 1
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 26

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 12, C: 15
B (12)
C (15): E: 22, G: 28
E (22): D: 25, F: 26
D (25)
F (26)
G (28)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 26

Відповідь

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms