Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Маючи монети номіналом 1, 3 і 4 та суму 6, скільки монет використовує жадібний метод «спершу найбільша монета» порівняно з оптимумом?

  1. AЖадібний використовує 4 монети; оптимум — 3
  2. BЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
  3. CЖадібний використовує 2 монети; оптимум — 2
  4. DЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 3
2.Алгоритми та складністьСкладна

Узявши обидва кінці кожного ребра максимального (за включенням) паросполучення, отримують вершинне покриття. Наскільки воно добре?

  1. AЩонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
  2. BЩонайбільше в log n разів більше за мінімум
  3. CЗавжди мінімальне вершинне покриття
  4. DНевідомої якості порівняно з оптимумом
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті займає матриця суміжності графа з V вершинами?

  1. AO(log V)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E)
4.Структури данихСкладна

Яку проблему лінійного зондування переважно зменшує подвійне гешування?

  1. AПотребу зберігати ключі в таблиці
  2. BПотребу в геш-функції
  3. CВартість O(n) читання значення ключа
  4. DПервинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K5? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K5
H =
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки замкнених маршрутів довжиною 2 починаються й закінчуються в D? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2

Чому це відповідь

Жадібний метод бере 4 + 1 + 1 = 3 монети, але 3 + 3 — лише 2, тож для цієї системи монет жадібний метод не оптимальний; оптимальне динамічне програмування.

Відповідь

B · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття

Чому це відповідь

Ребра паросполучення не мають спільних вершин, тож оптимуму потрібна щонайменше одна вершина на ребро, а цей метод бере дві: це 2-наближення.

Відповідь

A · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
3.Структури даних

Відповідь: B · O(V²)

Чому це відповідь

Матриця суміжності зберігає V × V елементів, що ефективно для щільних графів; списки суміжності займають O(V + E) і краще підходять для розріджених графів.

Відповідь

B · O(V²)
4.Структури даних

Відповідь: D · Первинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок

Чому це відповідь

Лінійне зондування крокує на 1, тож серії зайнятих комірок зростають і зливаються; подвійне гешування використовує другий геш для розміру кроку, тож різні ключі перевіряють різні послідовності.

Відповідь

D · Первинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок
5.Теорія графів

Відповідь: H = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Відповідь

H = 12
6.Теорія графів

Відповідь: N = 2

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Спільні сусіди

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms