Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Приблизно скільки порівнянь потребує бінарний пошук у найгіршому випадку на відсортованому масиві з 1,000,000 елементів?

  1. AБлизько 20
  2. BБлизько 100
  3. CБлизько 500,000
  4. DБлизько 1,000
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому пошук у геш-таблиці в середньому має складність O(1), а в найгіршому випадку — O(n)?

  1. AГеш-функції повільні
  2. BКлючі спершу потрібно відсортувати
  3. CДоступ до масивів має складність O(n)
  4. DБагато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик
3.Структури данихСередня

Де розташований батько вузла з індексом i в бінарній купі, що зберігається в масиві з індексацією від 0?

  1. AВ індексі ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BВ індексі ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CВ індексі 2i + 1
  4. DВ індексі i − 1
4.Структури данихСкладна

Чому сервер може обирати свою геш-функцію випадково з універсального сімейства?

  1. AЩоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію
  2. BЩоб зробити геш-таблицю відсортованою
  3. CЩоб усунути потребу змінювати розмір таблиці
  4. DЩоб гарантувати, що жодні два ключі ніколи не матимуть колізії, які б ключі не надсилав зловмисник
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K7? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K7
H =
6.Теорія графівСкладна
9561412104ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 3; пропущені ребра не враховуються.

k = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Близько 20

Чому це відповідь

220 ≈ 1,048,576, тож приблизно після 20 ділень навпіл залишається лише один елемент.

Відповідь

A · Близько 20
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Багато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик

Чому це відповідь

За доброї геш-функції та відповідного коефіцієнта заповнення кошики в середньому залишаються короткими; зловмисно підібрані дані або погане гешування можуть помістити всі ключі в один кошик.

Відповідь

D · Багато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик
3.Структури даних

Відповідь: A · В індексі ⌊(i − 1) / 2⌋

Чому це відповідь

Діти i розташовані в 2i + 1 і 2i + 2, тож батько i — це ⌊(i − 1) / 2⌋; за індексації від 1 це ⌊i / 2⌋.

Відповідь

A · В індексі ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структури даних

Відповідь: A · Щоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію

Чому це відповідь

За універсального гешування очікувана кількість колізій мала для будь-якої множини ключів, бо зловмисник не знає, яку функцію обрано.

Відповідь

A · Щоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію
5.Теорія графів

Відповідь: H = 360

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Відповідь

H = 360
6.Теорія графів

Відповідь: ребро BC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. BE (4)
2. AC (5)
3. BC (6)
4. DE (10)

номер ребра 3

BC

Відповідь

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms