Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність: for i = 1 to n: for j = 1 to i: виконати роботу O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який алгоритм знаходить мінімальне кістякове дерево, багаторазово додаючи найдешевше ребро, яке не утворює циклу?

  1. AАлгоритм Прима, що починає з однієї вершини
  2. BАлгоритм Дейкстри
  3. CАлгоритм Краскала
  4. DАлгоритм Флойда–Воршелла
3.Структури данихСередня

Яке призначення сторожового (фіктивного, sentinel) вузла у зв'язному списку?

  1. AЗберігати кількість елементів
  2. BЗробити список відсортованим
  3. CНе дати списку зростати понад фіксовану максимальну кількість вузлів
  4. DСпростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
4.Структури данихСкладна

Яку гарантію щодо висоти дерева з n ключами дають правила червоно-чорного дерева?

  1. AВисота щонайбільше 2 log2(n + 1)
  2. BВисота щонайбільше n / 2
  3. CВисота рівно log2 n
  4. DВисота щонайбільше log2 n + 1
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 6 вершин і 17 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 6|E| = 17
k =
6.Теорія графівСкладна
186141020213ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4; пропущені ребра не враховуються.

k = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n²)

Чому це відповідь

Тіло внутрішнього циклу виконується загалом n(n + 1) / 2 разів, що все одно квадратично.

Відповідь

C · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Алгоритм Краскала

Чому це відповідь

Алгоритм Краскала сортує ребра за вагою й додає їх, якщо вони з'єднують різні компоненти; алгоритм Прима нарощує одне дерево від початкової вершини.

Відповідь

C · Алгоритм Краскала
3.Структури даних

Відповідь: D · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості

Чому це відповідь

Зі сторожовим вузлом кожен справжній вузол має попередника, тож вставлення чи видалення на початку не потребує особливої обробки.

Відповідь

D · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
4.Структури даних

Відповідь: A · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)

Чому це відповідь

Кожен шлях має однакову кількість чорних вузлів, а червоні вузли не можуть бути сусідніми, тож найдовший шлях щонайбільше вдвічі довший за найкоротший, що дає висоту O(log n).

Відповідь

A · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)
5.Теорія графів

Відповідь: k = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

6 − 1 = 5

Ребра для вилучення

k = 17 − 5 = 12

Відповідь

k = 12
6.Теорія графів

Відповідь: ребро BC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. DE (2)
2. AC (6)
3. BD (10)
4. BC (14)

номер ребра 4

BC

Відповідь

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms