Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що означає, що задача має оптимальну підструктуру?

  1. AЗадача має рівно один оптимальний розв'язок, спільний для кожної підзадачі
  2. BЗадачу можна розв'язати за сталий час
  3. CОптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
  4. DУсі підзадачі мають однаковий розмір
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність побудови бінарної купи з n невідсортованих елементів висхідним методом (bottom-up)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
3.Структури данихСередня

Де розташований батько вузла з індексом i в бінарній купі, що зберігається в масиві з індексацією від 0?

  1. AВ індексі i − 1
  2. BВ індексі ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CВ індексі 2i + 1
  4. DВ індексі ⌊i / 2⌋ + 1
4.Структури данихСкладна

Ключі 5, 3, 8, 1 вставляють у такому порядку в порожню бінарну мін-купу на основі масиву. Який остаточний масив?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки маршрутів довжиною 3 ведуть від F до B? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач

Чому це відповідь

Оптимальна підструктура потрібна, щоб і жадібні алгоритми, і динамічне програмування давали правильні відповіді.

Відповідь

C · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Сума витрат на просіювання вниз (sift-down) за всіма рівнями утворює збіжний ряд, тому побудова купи (heapify) виконується за лінійний час.

Відповідь

D · O(n)
3.Структури даних

Відповідь: B · В індексі ⌊(i − 1) / 2⌋

Чому це відповідь

Діти i розташовані в 2i + 1 і 2i + 2, тож батько i — це ⌊(i − 1) / 2⌋; за індексації від 1 це ⌊i / 2⌋.

Відповідь

B · В індексі ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структури даних

Відповідь: D · [1, 3, 8, 5]

Чому це відповідь

Після 5, 3, 8 масив — [3, 5, 8]; 1 потрапляє в індекс 3, обмінюється з батьком 5, а потім із 3, що дає [1, 3, 8, 5].

Відповідь

D · [1, 3, 8, 5]
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Непарні вершини

C, D, E, G → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Ще один крок

(M³)FB = 0·1 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 + 1·0 = 1

Відповідь

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms