Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність алгоритму Беллмана–Форда на графі з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чи належить 22n до O(2ⁿ)?

  1. AТак, бо сталі множники в показнику степеня в нотації «велике O» завжди ігноруються
  2. BНі, бо 22n зростає повільніше, ніж 2ⁿ
  3. CНі, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено
  4. DТак, бо обидві функції експоненційні
3.Структури данихСередня

Вузол бінарного дерева пошуку має праве піддерево. Де розташований його наступник у симетричному порядку (in-order successor)?

  1. AКрайній лівий вузол його правого піддерева
  2. BКрайній правий вузол його лівого піддерева
  3. CЗавжди його права дитина
  4. DЗавжди його батько
4.Структури данихСкладна

Чому сервер може обирати свою геш-функцію випадково з універсального сімейства?

  1. AЩоб зробити геш-таблицю відсортованою
  2. BЩоб усунути потребу змінювати розмір таблиці
  3. CЩоб гарантувати, що жодні два ключі ніколи не матимуть колізії, які б ключі не надсилав зловмисник
  4. DЩоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
61311942592ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(D) найкоротшого шляху від A до D у зваженому графі.

початок: Aкінець: D
d(D) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(V × E)

Чому це відповідь

Кожен із V − 1 раундів релаксує всі E ребер, що дає O(VE); натомість він працює з від'ємними вагами ребер.

Відповідь

B · O(V × E)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Ні, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено

Чому це відповідь

Стала, додана до показника, дає сталий множник, але стала, що множить показник, змінює основу й швидкість зростання.

Відповідь

C · Ні, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено
3.Структури даних

Відповідь: A · Крайній лівий вузол його правого піддерева

Чому це відповідь

Усі більші ключі, близькі до вузла, розташовані в його правому піддереві, а найменший із них — це крайній лівий вузол там.

Відповідь

A · Крайній лівий вузол його правого піддерева
4.Структури даних

Відповідь: D · Щоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію

Чому це відповідь

За універсального гешування очікувана кількість колізій мала для будь-якої множини ключів, бо зловмисник не знає, яку функцію обрано.

Відповідь

D · Щоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: d(D) = 17

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 6
B (6): C: 19, D: 17, G: 11
G (11): E: 13
E (13)
D (17): F: 19
C (19)
F (19)

Найкоротший шлях

A → B → D
d(D) = 17

Відповідь

d(D) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms